312 NOTES. 



C par 0; les Equations (A) et(B) deviendront: 



OA.OA' = OB.OB' , 

 BA.BA' BO 



Chacune de ces sept Equations comporte les six autres , et constitue seule 1'involution 

 des cinq points A, A', B, B', et 0. La proprie'te' caracteristique de ce point est que son 

 conjugue 1 se trouve a 1'infini. Nous 1'appellerous le point central des deux syslemes A, A' 

 et B, B'. 



La position de ce point central est de"terminee par chacune des sept Equations prdc6- 

 dentes. La premiere exprime que le produit des distances de ce point aux deux premiers 

 points conjuf/ues, est e'yal au produit de ses distances aux deux autres points conju- 

 gues ; celte relation va nous conduire a une propriele 1 remarquable de 1'involution de six 

 points. 



(12)Soient A, A';B, B';et C, C' ces six points; et soil Ole point central relatif aux quatre 

 premiers, de sorte qu'on ait OA.OA' = OB.OB'. Appelons un instant 0' son conjugue' , 

 lequel est a 1'infini. Les six points A, A', B, B' et 0, 0' forment une involution. II re'sulte 

 done du th^oreme (8) que les deux systemes C , C' et 0, 0', et un quelconque des deux 

 autres, le premier A, A', par exemple, forment une involution. C'est-a-dire que le point 

 O est le point central des deux syslemes A , A' et G, C'. Ainsi Ton a OA.OA' = OC.OG'. 

 Mais on a deja OA.OA' = OB.OB'; on conclut done dela le the'orerne ge'ne'ral : 



Quand trois systemes de deux points forment une involution , il existe toitjours un 

 certain point tel que le produit de ses distances aux deux points de chaque systeme 

 est constant. 



Re'ciproquement, quand sur une transversale onprend , a par tir d'un point fixe O, 

 deux points tels que le produit de leurs distances au point soit egal a une quantite 

 constante , trois systemes de deux points ainsi determines seronten involution. 



Quand les deux premiers points seront pris du meme c6le par rapport au point 0, il en 

 devra 6lre de me'me des deux points de chacun des deux aulres systemes , pour que les pro- 



