NOTES. 313 



duils aient le mfime signe; et pareillement quand les deux premiers points seront pris dc 

 i -oil's opposes par rapport a un point 0. 



(13) Le llirmrmr |n.'ci'-ili-ni , qui, je crois, n'a point encore assez fix6 1'attenlion des 

 pcrsonncs qui ont 6crit sur cettc maliere, me parait 6tre la proprie'le la plus simple de 

 I'i ii vol ii I inn de six points, et celle par laquelle se inanifestera , le plus souvent , datis les 

 speculations g6om^lrique.s, cctle involution. 



Nous dirons que le point 0, conside*re* dans unc involution de six points , est le point 

 central de 1'involution. 



(14) Ce point central conduit naturellemcnt aux points doubles, dont nous avons deja 

 ji;irli ; , el fait voir que ces points peuvent i'-li-r imagiuaires. 



n effet, soient A, A'; B,B', les qualre premiers points d'une involution. IJssufTiscnt 

 pour determiner le point central 0. Si les deux points A, A' sont d'un ineme c<H6 par 

 rapport a ce point 0, il en sera de memedes deux points 15. B', et des deux a utrcs points 

 G, C' qui doivent compiler 1'involution. On peut done supposer que ces deux derniers 

 se reunissent en un soul, que nous appelons ; et Ton aura , pour determiner ce point, 

 1'equation 



OA.OA' = OB.OB' = "oT. 



Ce point E peut Sire pris arbitrairement d'un cote ou de I'autre du point ; de sorte 

 qu'il y aura deux points . 



Ainsi les quatre premiers points A, A' et B, B' etant ilomu's, 1'involution pourra 

 t'-ln- compietee de deux manieres par un cinquieme point qui sera roiisiilen': comme 

 double. 



Mais si Ton suppose que les deux premiers points A, A' soient places de cdtes differens, 

 par rapport au point 0, il en sera de m6me des deux B, B', et des deux G, C' qui doivent 

 compieter 1'involution; ces deux derniers ne pourront done jainais se confondre. Ainsi 

 dans ce cas il n'y aura pas de points doublet ; 1'analyse donnerait pour leur construction 

 n in- expression imaginaire. 



(15) Soient six points en involution A, A' ; B, B' et G, C'. Que les deux premiers soient 

 du iiii'-ini 1 cdte du point central 0; on pourra prendre, des deux cdtes de ce point, deux 

 points , F, tels que 



OE' = OF* = OA.OA'. 



Cette double equation exprime que Ics deux points E, F sont conjugues harmoniques 

 par rapport aux deux premiers A, A'. 

 Mais on a aussi 



UE' =OF OB. =OB'; 



les deux points E, F sont done aussi conjugues harmoniques par rapport aux deux points 

 B, B' , et de mfirne pour les autres points C, G'. D'oii riSulle cette propriete, deja connue. 



To. XI. 40 



