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de 1'involulion de sis points , savoir qu'il existe deux points quisont conjugues harmoni- 

 ques par rapport aux deux points de chacun deg trois systemes de I 'involution Ces deux 

 points sont situes de part et d'autre, et a egale distance du point central de 1'involution. 

 Mais ces deux points peuvent etre imaginaires. 



(16) II est ais6 de voir que, quand les deux points B, B' seront situes sur le segment 

 AA' , ou entierement au dehors de ce segment , les deux points E, F seront r6els ; 



Au contraire, quand 1'un desdeux points B, B' sera sur le segment AA', et 1'autre sur 

 son prolongement, les deux points en question seront imaginaires. 



En effet, dans le premier cas, le point 0, qui est toujours re'el, sera 6videmment en 

 dehors des deux segmens AA' , BB' , pour que liquation OA.OA' = OB. OB' puisse avoir 

 lieu; c'est-a-dire que les deux points A, A' seront places du mme c6te du point 0, et 

 des lors les deux points E, F seront r6els. 



Dans le second cas, le point sera evidemment place sur la partie commune aux deux 

 segmens AA' , BB', et les deux points A , A' seront de cot6s diffe'rens par rapport au point 

 ; et des lors les deux points E, F seront imaginaires '. 



(17) Les deux points E, F jouissent d'une autre propriete caracteristique, qui dtait 

 de'monlr^e par Apollonius dans son trait6 de sectione determinatd , comme on le Toil 

 par les propositions 61 , 62 et 64 du septieme livre des Collections math6matiques de 

 Pappus ; c'est que le rapport 



EA.EA' / FA. FA' 

 ou 



EB.EB' ^ FB.FB' 



est un maximum ou un minimum. C'est-a-dire que si 1'on prend un autre point quelcon- 

 que m , le rapport 



wA.mA' 



mB.wiB' 



atteindrason maximum ousonminimum quand le point wtviendra se confondre avec 1'un 

 des deux points E, F qui sont conjugu^s harmoniques par rapport aux deux A, A', et par 

 rapport aux deux B, B'. 



(18) Deux systemes de points A, A' et B, B' et leur point central , jouissent de la pro- 

 prieie suivante, d^montre'e par Pappus (propositions 45 , 46 ,... et 56 du livre septieme 

 des Collections malhematiques ) : 



Si I' on prend sur la droite AE , ou sur son prolongement , un point quelconque m, 

 on aura toujours la relation 



mA.wA' mB.rnB' = (AB -t- A'B'). mO. 



1 M. Poncelet a pr^sent^ d'une autre maniere cette discussion relative aux deux points E , F, en se servant 

 de la construction ge'omelrique propre a la determination de ces deui points (Voir TraM des PropriMs pro- 

 fectives , pag. 201). 



