NOTES. 315 



En prenant les points milieux a , S des deux segmens A A' et BB', on change cette rela- 

 tion en celle-ci : 



wiA.wA' mB.roB' 



(19) En supposant que le point m se confonde successivement avec A, A', B, B', on 

 aura des relations particulieres entre les cinq points A , A' , B , B' et 0, qui ont aussi i'-i > 

 demon trees par Pappus, propositions 41 , 42 et 43. 



Proprietet geometrique*. 



(20) La plus ancienne propriety geometrique de 1'involution de six points, se trouve 

 dans Pappus (proposition 130 du septieme livre), ou Ton voit que quandles quatre c6ts 

 et les deux diagonales d'un quadrilatere sont rencontres par une diagonale quelconque en 

 six points, A, A'; B, B';et C, C',dont les deux premiers appartiennent a deux cdls 

 opposes , les deux suivans aux deux autres c6t6s opposes , et enfin les deux derniers aux 

 deux diagonales, on a entre les segmens formed par ces points, les Equations (B). 



11 resulte videmment de cette proposition que, reciproquement, quand une des Equations 

 (B)a lieu, onpeut faire passer par les six points, les quatre cdt6s et les deux diagonales d'un 

 quadrilatere; et Ton conclut de la, par la proposition de Pappus, que les trois autres Equa- 

 tions (B) ont lien en \ rrtu de la premiere. 



Voila comment, au moyen de la proposition geometrique de Pappus, on demon tre cette 

 propriety arithmelique de 1'involution de six points, savoir, que 1'une quelconque des 

 equations (B) comporte les trois autres. 



Et comme, en combinant ces equations entre elles, on en deduit immediatement les 

 (Equations (A) , il se trouve aussi demontre, par la seule proposition de Pappus, que les six 

 points ou une transversale nn-iu't- arbitrairement dans le plan d'un quadrilatere rencontre 

 ses quatre cdtes et ses deux diagonales , ont entre eux les relations exprimees par les 

 Equations (A). 



(21) La demons t rat ion du thoreme de Pappus est facile; mais au moyen de ce que la 

 relation d'iuvolutiou est projective, on peut simplifier cette demonstration , en projetant 

 le quadrilatere de maniere qu'il devienne un parallelogramme. 



C'est ainsi qu'a fait M. Brianchon pour demontrer ce theoreme, dans son Memoire sur 

 les lignes du second ordre. 



(22) II ne parait pas que les relations (A) , qui comprennent huit segmens, aient ete 

 connucs de Pappus. Car parmi ses propositions sur le quadrilatere coupd par une trans- 

 versale, nous n'en trouvons qu'une qui se rapporte a ces relations; e'en est un cas parti- 

 culier. La transversale est menee par le point de concours de deux cfites opposes , parallele- 

 ment a une diagonale (proposition 133). Les deux propositions qui precedent celle-la 

 pourraient etre aussi cousidres comme des casparticuliers des relations (A); mais comme 

 elles viennent immediatement apres la proposition 130,dont elles sont aussi des cas par- 



