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ticuliers, nous devons les y rattacher , et les regarder comme des corollaires des relations 

 (B) qu'exprime cette proposition 130. 



(23) Les equations (A) ne paraissent pas remonter au dela de Desargues ; c'est sous leur 

 forme que ce g6ometre a caract6ris6 I' involution de six points, a 1'occasion du beau 

 theoreme suivant , qui est devenu si fecond dans la Geometric recente, savoir , que : 



Un quadrilatere etant inscrit dans une conique, les points ou une transversale 

 quelconque rencontre la conique et les quatre cotes du quadrilatere, sont en involution. 



II est extremement facile de demontrer ce theoreme par de simples considerations de 

 Geometric '. 



(24) Et Ton en conclut successivement les deux suivans, qui sont plus generaux : 

 Quand dense coniques sont circonscrites a un quadrilatere , si I' on tire une transver- 

 sale quelconque qui rencontre ces courbes en quatre points , et deux cotes opposes du 

 quadrilatere en deux autres points ; ces six points seront en involution. 



Quand trois coniques sont circonscrites a un nieme quadrilatere , une transversale 

 quelconque les rencontre en six points qui sont en involution. 



Ces deux theoremes sont, comme on voil, une generalisation de celui de Desargues, 

 qui s'en conclut comme corollaire. M. Sturm les a demontres le premier par 1'ana- 

 lyse 2. 



(25) Le dernier pourrait servir a demontrer les diff6rentes propriet6s de 1'involution de 

 six points , que nous avons appe!6es arithmetiques. Pour cela on considererait difF6renles 

 autres coniques passant par les quatre memes points que les trois premieres ; chacune 

 d'elles pouvant etre d6termin6e par une cinquieme condition. Si Ton demande qu'nne de 

 ces coniques soil tangente a la transversale , on trouvera les points doubles ; si Ton veut 

 qu'une des coniques ait une asymptote parallele a la transversale , on trouvera le point 

 central; etc. 



(26) Une propri6t bien importante de 1'involulion de six points, c'est que: Si d'un 

 point pris arhitrairement , on mene des droites a ces six points , les relations d 'in- 

 volution (A] et (Z?) , qui ont lieu entre les segmens compris entre les points , auront lieu 

 aussi entre les sinus des angles formes par les six droites qui interceptent ces seg- 

 mens. 



On a coutume de demontrer cette proposition, en exprimant les segmens en fonction 

 des sinus des angles qui les comprennent. Mais la th6orie du rapport anharmonique de 

 qualre points nous en fournit une demonstration plus simple. Car il suffit de remarquer 

 que chacune des relations d'involution (A) et (B) est une egalile de deux rapports an- 

 harmoniques ( ainsi que nous le ferons voir dans la deuxieme partie de cette Note ). Ces 

 rapports conservent les memes valeurs quancl on y substitue, aux segmens, les sinus des 

 angles qui comprennent ces segmens ; par consequent la relation d'involution a lieu en- 

 tre les sinus des angles que les six droites font entre elles. 



R6ciproquement , quand une telle relation a lieu entre les sinus des angles que six 



1 Voir la NOTE XV. 



2 Annalesdo Mathtmatiques ,tom. XVII, pag. 180. 



