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NOTES. 



troig gygtemes > ont leur rapport anharmonique egal a celui deg points corres- 

 pondang. 



(35) Nous disons que trois des quatre premiers points doivent apparteniraux trois sys- 

 temes; car autrement, deux des six points n'entreraient pas dans liquation resultant des 

 deux rapports anharmoniques. Par exemple, si les qualre premiers points Elaient A,B, A', B', 

 leurs correspondans seraient A', B', A , B ; et , en egalant le rapport anharmonique des 

 quatre premiers a celui des quatre autres, on n'aurait pas une relation entre les six points 

 proposEs, puisque C et C' n'y entreraientpas. Mais liquation qu'on obtient ainsi est iden- 

 tique. Nous pouvons done Enoncer d'une maniere gEnErale le thEoreme suivant : 



Quand six points , qui te correspondent deux a deux , sont en involution, le 

 rapport anharmonique de quatre quelconques d : 'entre eux eat egal au rapport anharmo- 

 nique des quatre points qui leur correspondent regpectivement. 



Ce thEoreme nous semble exprimer la propriete la plus feconde de la thEorie de I'in- 

 volution de six points ;il conduit naturellement a difTErentes expressions de 1'involulion , 

 que Ton n'a pas encore ape^ues. 



Nous aliens les faire connaitre. 



(36) Nous avons vu , dans la Note prEcEdente , que KEgalite des rapports anharmo- 

 niques de deux systemes de quatre points peut s'exprimer de trois manieres par une Equa- 

 tion a trois termes; d'apres cela on trouve que la condition d'involution de six points 

 peut s'exprimer de douze manieres par une equation a trois termes. Quatre de ces douie 

 equations contiennent le segment AA', compris entre deux points conjugues, quatre 

 contiennent le segment BB', et quatre enfin le segment CG'. 



Voici quelles sont les quatre premieres de ces dome Equations : 



(C) 



AB.AG 

 AA'.BG 



AB.A'G/ 

 AA'.BG' 



AG.A'B 

 AA'.GB 



AC.A'B' 

 A'A'.GB' 



AB'.A'C' 

 AA'.B'G' 



AB'.A'C 

 AA'.B'C 



AC'.A'B' 





AA'.C'B 



AC'.A'B 

 AA'.G'B 



1 



_ 1 



On formera semblablement les quatre equations oii entrera le segment BB', et les quatre 

 aulres ou entrera le segment CC'. 



En tout douze Equations, dont chacune comporte lesonze autres. Chacune de ces Equa- 

 tions contient huit segmens dont sept sont diffErens. 



(37) On a encore les huit Equations suivantes, qui different des prEcEdentes, quoi- 

 qu'elles soient aussi a trois termes , et qu'elles contiennent chacune huit segmens dont 



