322 NOTES. 



C'est une des formules qui expriment que les points A, A' sont conjugues harmoniques 

 par rapport aux deux E, F. 



(40) On peut exprimer, comme on sail, la relation harmonique de quatre points, au 

 moyen d'un ciuquieme point arbitraire, auquel on rapporte les quatre points proposed. 

 II est aussi une maniere d'exprimer 1'involution de six points en se servant d'un point 

 auxiliaire, auquel on rapporte les six points proposes; et cette maniere donne lieu a un 

 nombre iiifini d'6quations, dont une scule suffit pour exprimer 1'involution. 



Soient A et A', B et B', C et G' les six points en involution, et m un septieme point 

 pris arbitrairement sur la droite sur laquelle sont situ<5s les premiers; soient a, 6, y, les 

 points milieux des segmens A A', BB', CG'; supposant ces points places dans 1'ordre ou nous 

 les dnoneons , on aura la relation 



(F) ...... wiA.mA'.SV wB.wiB'.ay -+- mC. mC'. a.S = o. 



Gette Equation a lieu quelle que soil la position du point m. 



En supposant que ce point se confonde successivement avec les points en involution, 

 ou avec les points a, 6, y, ou avec divers autres points determines, on aura diverses re- 

 lations qui exprimeront toutes 1'involution de six points. 



(41) La demonstration de liquation (F) est facile. Nous allons faire voir que si cette 

 equation a lieu pour une position du point m, elle aura lieu aussi pour une autre position 

 quelconque de ce point; c'est-a-dire qu'en appelant M cette nouvelle position du point m , 

 on aura n^cessairement 



(F') ...... MA.MA'.ffy MB.MB'.*y-t- MC.MC'.<?= o; 



ensuite nous montrerons que liquation (F) a efFectivement lieu pour une certaine position 

 du point m. 



Pour deduire 1'equation (F') de 1'equalion (F), j'ecris : 



nA = MA Mm , wA' = MA' MOT , 



wA.mA' = MA.MA' (MA -t- MA')Mm -t- MOT' , 

 ou 



iA.A' = MA.MA' 2M.M* 

 Pareillement : 



mB.mB' = MB. MB' SMff.Mm -t 

 et 



mC.wtC' == MC.MC' 2My.M + 



L'6quation (F) devient done : 



MA.MA'.SV MB.MB'. r -+- MC.MC'.af 

 2.Mt. (SvMa ay.Mff -f- af.My) + (Sy ay + .) M 2 = o 



