NOTES. 323 



Or, on a, entre les qua t re points a, 6, y, M, la relation 



tfy.M* ay.MC + C.My = o, 



ainsi que nous 1'avons demontre dans la Note IX (pag. 305); on a aussi, entre les points 

 a, S , y, la relation 



ffy ay -f- aC = o ; 



liquation ci-dcssus se rdduit done a 1'equation (F'), qu'il s'agissaitde demontrer. 



II restc a fairc voir que I'e'quation (F) a lieu pour uue certaine position particuliere du 

 point m. Supposons que le point soil situe au point central de 1'involution des sii points; 

 on aura mA.mA' = mB./nB' = wtC.mC'; et liquation se reduira a 



Sy ay -f- aS = , 

 Equation identique. 



Ainsi la formule (F') , ou (F) qui lui est semblable, est demonlre. 



(42) On pent remplacer dans liquation (F) les segmens aS, cc/, G-y, pard'autres segmens 

 entre les seuls points A, A', B, B', G et C' : car on a 



DC -+- B'C' AC -+- A'C' AB -t- A'B' 



Cy = , ay = aS = 



(43) Supposons que dans 1'involution les deux points G , G', se confondent en un seul E , 

 et que les deux points B, B', se confondent aussi en un seul F; liquation deviendra 



(G) mA.mA'.EF mF" E -f- mt'.aF = o. 



Cette equation exprimeune relation enlre quatre points A, A', E,F, dont les deux pre- 

 miers sont conjuguds harmoniques par rapport aux deux autres, et un cinquieme point 

 m pris arbitrairement. 



En donnant a ce cinquieme point diflfcrentes positions particulieres . on aura difftrentes 

 expressions de la relation harmonique de quatre points. 



(44) L'equalion (F) nous parait elre, jusqu'ici, 1'expression la plus (.'(endue et la plus 

 fe'condc de 1'involulion de six points; car on en conclut toutes les diiTe'rentes Equations 

 que nous avons donnees, et diverses autres qui donnent des expressions simples de plu- 

 sieurs rapports de produits de segmens, que 1'on a a consid^rer dans cette th6orie. 



Far exemple, en supposant que le point m sc confonde avec le point A, on trouve cette 

 expression tres-siraple du rapport de AC.AC' a AB.AB' 



AC.AC' ay AC -+- A'C' 



AB.AB' *C AB -4- A'B' 



L'expression de 



A'C.A'C' 

 A'B.A'B' 



est la jiu'-inc: d'oa I on conclut les equations (A). 



