NOTES. 325 



Or 



ec ec 1 me' 



= > et -7: = l ; <lonc T- = 2 ; 



i(7 mC Cr 



liquation devient done 



mA.mA' wiR.mB' + 2C. mO = o. 



Rcmplacant oo par 



AB -*- A'U' 



on a liquation de Pappus. 



(48) Si Ton suppose quo les deux points B, B' se confondent en 1'un des points doubles E , 

 de (Involution, cette Equation deviendra 



(H) ........ wiA.wiA' iE -t- 2E.iO = o. 



(49) Si les deux points A, A', se confondent au deuxieme point double F, il viendra 



tnF wE* -+- 2EF.mO = o. 



Gette equation exprime une relation entre trois points quelconques i, E, F, et le point 

 milieu dcs deux derniers. 



(60) La premiere des equations (D) et 1'equation (H)donnent une demonstration du cas 

 de maximum ou minimum demontre par Apollonius, dont nous avons par!6 (17). Car, 

 d'apres la premiere de ces deux equations, on voit que le rapport 



AC.AC' 

 AB.AB' ' 



mi A est suppose le point variable, sera un maximum eu minimum quand le produit 

 BA.BA' sera lui-meme un minimum ou maximum. Or, d'apres 1'equation (H), on a 



BA.BA' == "BE' 2E.BO. 



Le produit BA.BA' sera done un maximum (ou un minimum a cause des signes) 

 quand le coefficient variable aEsera nul. Alors les deux points A, A', se confondront avec 

 le point E; ce quiest la proposition d'Apollonius. 



(51) On peut exprimer 1'involution de six points par une equation ou entrent deux 

 points pris, 1'un et 1'autre, arbitrairement. 



Soient m et n ces deux points ; soient le conjugue harmonique du point n par rapport 

 a A et A'; le conjugue' harmonique de n par rapport a B et B'; el y le conjugue^ harmo- 

 nique de n par rapport a C el C'. On aura , quels que soient les deux points m et n pris sur 

 la droite ou sont situds les points de 1'involution , la relation 



mA.mA' wB.mB' mC.mC' 



o. 



- . 



A.A' nB.nB' nC.nC' 



