NOTES. 335 



1'on conclut quo le rapport unharmonique det quatre premieres droites est egal au 

 rapport anharmonique det quatre nntre. 



(2) On a done ce theoreme gnra), qui cst la rdciproque de la conclusion quc nous 

 Tenons de tircr du theoreme de Desargues : 



Quand on a deux faisceaux de quatre droitett , qui te corretpondent une a une , 

 i le rapport anharmonique det quatre premieres ett egal au rapport anharmoni- 

 que det quatre autret , let droites d'un faisceau rencontreront , respectioement , leurt 

 corretponduntet en quatre points , qui seront tur une conique passant par let deux 

 points , centres des deux faisceaux. 



Ce I lifin I'M ic , comme on le voit par la demonstration que nous venons d'en donner, 

 n'estau fond qu'une expression diffe'renle decelui de Desargues; mais ses corollaires , ex- 

 iiviiii'innii nombreux . embrassent une partie des proprietes des coniques, sur lesquelles 

 semblaient ne pouvoir s'etendre les theoremes de Desargues et de Pascal. Et en diet, outre 

 les avantages propres de sa forme diffe 1 rente, il a quelque chose de plus general que chacun 

 de ces deu\ ihloremcs; et ceux-ci s'en deduisent, non plus comme transformation, mais 

 comme simples corollaires. C'est ce que nous fcrons voir tout-a-i'heurc , en monlrant la 

 nature des applications auxquelles se prete ce theoreme. 



Mais nous dcvons d'abord en donner une demonstration directe , puisque nous proposons 

 de subslituer ce theoreme aux plus gdndraux dout on s'est servi jusqu'ici, et de tirer ceux- 

 ci du premier. 



(3) Cette demonstration cst d'une facilite et d'une simplicile extreme. Car, le theoreme 

 i'-iiiiiir;mt une egalite des rapports anharmoniques de deux faisceaux de quatre droitrs , et 

 ces rapports conservant les memes valeurs quandon fait la perspective de la figure, il suffit 

 de prouver que cctte egalite a lieu dans lecercle quisert de base au cdnesur lequel on con- 

 sidere la conique. Or, dans le cercle, les angles que les quatre droites du premier faisceau font 

 entrc elles sont egaux respectivement aux angles que les droites correspondantes du deuxieme 

 faisceau font en tre elles, parce que ces angles sous-tcndent les memes arcs; done le rapport 

 anharmonique des sinus des premiers angles est egal au rapport anharmonique des sinus 

 des angles du deuxieme faisceau; puisque ces sinus seront egaux chacun a chacun. 



Ainsi le theoreme est demontre. 



(4) Imaginons que trois droites du premier faisceau, et les trois droites correspondantes 

 du second faisceau, soient fixes; que la quatrieme droite du premier fuisceau tourne 

 autour de son centre, et que la droite corrcspondante dans le second faisceau tourne 

 aussi , ct de manicre a ce que 1'egalite des rapports anharmoniques des deux faisceaux ait 

 toujours lieu; ces deux droites mobiles se conperont toitjonrs sur line conique, qui 

 sera deierminee par les cinq points fixes de la figure , c'cst-a-dire les centres des deux 

 faisceaux , et les points ou les trois droiles fixes du premier rencontreront les trois droites 

 fixes du second. 



(5) De la nail une infinite de manieres d'engendrer les coniques, par 1'interseclion de 

 deux droites tournant autour dedcux points fixes. Car on peut, d'une infinite de manieres, 

 former deux faisceaux de ligncs droites, qui se correspondent une a une, et telles que le 



