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(22) Ce thgoreme , ou il y a tant d'el^mens arbitraires , tels que les directions des trans- 

 versales , les positions des quatre points pris sur elles; celles des deux poles , et les valeurs 

 des (leuxcoefficiens, ne differe point, au fond, des proprie 1 tes generates des coniques dont il 

 a 6t6 question dans cette Note; car nous le de'duisons, conime chacune d'elles, de notre 

 proposition anharmonique. Mais sa forme permet d'en etendre les applications beaucoup 

 plus loin que Ton n'a fait a I'e'gard de chacune de ces propositions. 



(23) Ainsi , par exemple , si Ton suppose les deux points E , E' , places sur la droite qui 

 unit les deux p61es P, P', liquation, au lieu d'exprimer une conique, devient celle d'une 

 simple ligne droite. De la r^sullent , comme corollaires d'autant de propri^t^s des coniques, 

 une infinite 1 de proprietes de la ligne droite; et parmi ces propositions se trouvent divers 

 sysleines de coordonnees, particulieremenl celui de Descartes. 



II est plusieurs autres manieres de faire que I'e'quation represente une ligne droite. II 

 suffit , en general , de satisfaire a une seule relation de condition entre les donne"es de la 

 question, qui estexprimee par liquation 



Of OY 



i et E' e'tant les points ou les deux transversales renconlrent la droite qui joint les 

 p61es P, P'. 



Nous montrerons,dans un autree'cril, les nombreux usages auxquels I'e'quation (A) nous 

 ;i paru se preter dans la theorie des coniques , et dans celle des transversales. 



(24) Je reviendrai aussi ailleurs sur la propriety anharmonique des coniques, exprime'e 

 sous la forme d'une e'galite' a deux termes par le the'oreme (2) ; parce qu'elle se pre'sentera 

 dans la the'orie des figures homoyraphiques dont elle est une propri^te ge'ne'rale. Nous 

 I'e'nonceroDs alors en ces termes : 



Deux faisceaux homoyraphiques e'tant gitues dans un meme plan, leg droiten du 

 premier rencontrent respectivement leg droites du second, en des points qui sont sur 

 une conique qui passe par les centres des deux faisceaux. 



Get e'nonce' , qui substitue a 1'id^e de rapport anharmonique , qui est deja tre's- 

 simple, maisqui ne concerne directement qu'un faisceau de quatre droites, une autre 

 notion qui comprend explicitement toutes les droites d'un meme faisceau, apportera 

 dans les applications du thcoreme une promptitude et une facilile nouTelle. 



(25) On nous pardonnera peut-etre la longueur de celte Note , si Ton remarque qu'elle 

 contient, avec leurs demonstrations, la plupart des proprie'le's les plus belles et les plus 

 ge"ne"rales de la the'orie des coniques. L'analyse, certainement, n'aurait point ele" plus brieve, 

 ni plus facile, dans cette circonstance, que la pure Geometric. 



Nous observerons , a cette occasion , qu'aucune de ces propositions , qui sont pourtant les 

 plus considerables et les plus fe"condes de toute la thdorie des coniques, n'entre aujour- 

 d'hui dans les ouvrages analytiques ou 1'on e'tudie ces courbes. Ces ouvrages tie sont verita- 

 blement pas des traite"s des coniques; ce sont des applications de la Geometric analytique, 



