NOTES. 349 



Let droites quijoindront deux d deux let points oil deux trantvertalet renconlre- 

 ront la courbe te rencontreront tur cette droite ; 



En/in cette droite rencontrera chaque transversale en vn point, qiii teru l conjiigue 

 harinonique du point d' inflexion par rapport aux deux points oil la transversale ren- 

 contrera la courbe. 



II est manifeste que cette droite passe par les points de contact des trois tangcntes a 

 la courbe, qu'on peut mener, generalemcnt, par son point d'inflexion. On voit done que 

 cctle droite et le point d'inflexion jouissent, par rapport a la courbe , des monies propriele's 

 qu'un point et sapolaire par rapport a une conique. Par cette raison, nous 1'appellerons 

 la polaire du point d'inflexion. 



Le theoreme que nous venons d'dnoncer se demontre aisement par quelques conside'ra- 

 tions de Ge'ome'trie ; et Ton en peut de'duire diverses proprie 1 Ids des courbes du troisieme 

 dcgrd. Mais nous ne nous proposons ici que d'cn montrer 1'usage pour la demonstration 

 des deux modes de gdneValion de ces courbes par 1'ombre de cinq d'entre elles. 



On sail que toute courbe du troisieme degr a un ou trois points d'inflexion. Qu'on la 

 projette, c'est-a-dire qu'on en fasse la perspective, de maniere que 1'un de ses points 

 d'inflexion passe a 1'infini ; sa polaire , a cause de la troisieme partie de noli c the"oreme, 

 deviendra un diametre de la courbe. C'est la 1'origine des diamelres dans les courbes 

 du troisieme degr. 



Maintenant , que la perspective soil faite de maniere que non-seulement le point d'in- 

 flexion, mais la tangente a la courbe en ce point, passe tout entiere a 1'infini; la courbe 

 aura un diametre, ct n'aura aucune asymptote, elle sera purement parabolique; c'esl 

 le caraclerc exclusif des cinq parabolcs divergenles. II est done de'montre' qu'une courbe 

 quelconque du troisieme degre peul dire projete'e perspeclivement suivant unc des cinq 

 paraboles divergentes; d'ou requite que re'ciproquement ces cinq courbes peuvent produirc 

 par leur ombre toutcs les autres. C'est le theoreme de Newton, le premier des deux que 

 nous nous proposions de demontrer. 



Passons au second : Prenons la polaire d'un point d'inflexiou de la courbe propose'e , 

 et projetons cette courbe, perspectivement , de maniere que cette polaire passe a 1'infini: 

 il rsulle de la troisieme partie du theoreme ci-dessus, que le point d'inflexion sera en 

 projection le centre de la courbe. Ainsi done toute courbe du troisieme degre" peut etre 

 projele perspectivement suivantune courbe ayant un centre; d'ou rsulte que rcipro- 

 qucment les cinq courbes qui ont un centre peuvent produire par leur ombre toutes les 

 autres. C'est le second theoreme que nous nous proposions de de'monlrer. 



Ce th6oreme el celui de Newton peuvent ^tre compris sous ce seul e'nonce', savoir : 



Ainti que let courbes du second degre ne peuvent donner lieu qu'a une settle 

 espece de cone , de tneme le* courbes du troisieme degre ne peuvent donner lieu qu'd 

 cinq especes de cones : 



En coupant ces conet d'une certaine maniere, on forme let cinq paraboles cu- 

 biqtiet ; 



Et let coupant d'une autre maniere . on forme let cinq courbes qui ont un centre. 



