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projection ri.-mi perpcndiculaire a cet axe; la projection sera une Hgne aplan6tique '. 



Secondc manu're : Concevons deux c6nes droits, ayant Icurs sommets en deux points 

 ililli'-ivn- . et Icurs axes parallelcs cntre eux, 1'interscclion de ccs deux cdnes, projet6e 

 sur un plan pcrpendiculaire a Icurs axes, donncra Ics lignes aplane'liques -. 



Ces deux modes de gendration donnent les deuxovalesconjuguees quiforment uneligne 

 aplanetiquc complete; ct ils sont proprcs a montrer Ics difTe'rentcs formes quc pcuvent 

 prendre ces courbes, et particulierement celles qui ont6chappe a 1'analyse de Descartes. 



Nous avons trouve que lo second theoreme pent 6tre generalise* dela maniere suivante : 



Quand deux cones obliques ont pour bases sur un meme plan deux circonfe"rences 

 de cercles , et que les droites qui joignent les centres de ces courbes aux sommets des 

 deux cdnes respectivement , se renconlrent en un point de 1'espace ; un troisieme 

 cone ayant pour sommet ce point , et passant par la courbe d'intersection des deux 

 premiers, rencontrera le plan de leurs bases, suivant line courbe du quatrieme degre 1 

 qui sera une ligne aplan^tique 3. 



Pour di'riiic sur le plan, et sans la consideration des lieux a la surface, ni des pro- 

 jections, les lignes aplandtiqucs , on pourra se servir de la construction suivanle, qui est 

 plus expeditive que celle de Descartes, et qui a aussi 1'avantage de donner en meme 

 temps les deux ovales conjugates. 



I''. tn at donnas deux cerclet dunt un plan , ti, autour d'un point fixe , prig tur la 

 droite qui joint leurs centre* , on fait tourner une transversale , qui rencontre les 

 cerclet chacun en deux points; les rayons menes des centres des deux cercles a 

 leurs points de rencontre par la transversale, respectivement, se couperont en quatre 

 points , dont le lieu geometrique sera une ligne aplanetique complete, ayant ses deux 

 foyers situes aux centres des deux cercles. 



Cette construction resulte imme'diatemeut du lh6oreme de Ptolemee , sur le triangle 

 coupe 1 par une Iransvcrsale. Car ce thdoreme, appliqu6 a la figure, fait voir quc chaque 

 point de la courbe conslruite jouit de la propriete" que ses distances aux deux circonfe- 

 rences de cercle sont entre clles dans une raison constante. 



Cette description des ovales a encore 1'avantage de donner, sans conslructiou aucune. 

 les tangentes a ces courbes; car chaque point de la courbe correspond d'apres la cons- 

 truction , a deux points des deux cercles ;et les tangentes a la courbe et aux deux cercles , 

 en ces trois points, concourent en un me'me point; ce qu'il est aise* de deinontrcr par un 

 theoreme de Geometric 4 . 



On ne saurait avoir trop de moyens diileri'iis de ilecrirc une meme courbe, parce quc 



1 Iftuvtaux Mtmoiresde I' Academic de Brvxellet, torn. V; et supplement an Traiti dela Lvmiere de Sir 

 J. Herachel , par Jl. Quetelet . pag. 403. 



3 Notiveavx Mvmoirex de f Academic de Bnttellts, torn. V ; et supplement au Traite de la Lvmiert , de Sir 

 J. Hertchel, par M Quetelet, pag. 397. 



1 On peut ge'ne'raluer mii le premier theoreme, et consid^rer les lignei aplanetiqucs dans une surface quel- 

 conque du second degr^ au lieu d'une sphere. 



4 Correspondance mathtmalique de Bruiellet, torn. V, pag. 116 



