352 NOTES. 



chacun exprime une propri6l6 caraotdristique de la courbe, d'ou ddrivent naturellement 

 plusieurs autres propri^tes qui n'apparaissent pas aussi aisement dans les autres modes 

 de description. 



Les descriptions pr^cedentes des lignes aplanetiques font usage de leurs deux foyers; 

 voici une aulre maniere de les ddcrire, oii Ton ne se sert que d'un foyer, et qui offre 

 plusieurs avantages parliculiers. 



Etant donne un cercle et un point fixe , prig arbitrairement dang son plan , si par 

 ce point on mene un rayon vecteur d un point quelc.onque de la circonference du 

 cercle , et une seconde droite , qui fasse avec un certain axe fixe un angle double de 

 celui que fait le rayon vecteur avec cet axe , et qu'on porte sur cette seconde droite , 

 a partir du point fixe , un segment proportionnel au carre du rayon vecteur, I'ex- 

 tremite de ce segment aura pour lieu geometrique une ligne aplanetique formee de 

 deux ovales conjuguees dont un foyer est au point fixe. 



Ce th^oremc, faisant deliver directement les lignes aplaneliques du cercle, esl tres- 

 propre a faire decouvrir plusieurs propri<$ts de ces courbes. Par exemple , les proprie^es 

 connues du sysleme de deux ou de trois cercles s'appliqueront immediatement au sys- 

 leme de deux ou de trois lignes aplaneliques qui auront un foyer commun. 



Pour faire usage de ce th^oreme, il faut rcmarquer que si , au lieu d'une circonference 

 de cercle, I'exlre'niile' du rayon vecleur parcourl une ligne droite, on forme alors une 

 parabole qui a son foyer au point fixe. 



Ainsi, par exemple, quand deux droites tournent autour de deux points fixes en fai- 

 sant un angle de grandeur constante, leur point d'inlersection engendre un cercle; on 

 en conclut que : 



Si I' on a deux groupeft de paraboles ay ant toutes le meme foyer, et dont les unes 

 passent par un premier point fixe , et leg autres par un second point fixe ; et qu'on 

 prenne une parabole du premier groupe , et une parahole du second groupe , de 

 maniere que leurs axes fassent entre eux un angle de grandeur constante , les points 

 d' inter section de ces deux paraboles seront sur une ligne aplanetique. 



Ce th^oreme esl susceptible de plusieurs consequences, que nous ne pouvons exami- 

 ner ici *. 



Les lignes aplandliques jouissent d'une propridte assez curieuse qui, je crois , n'a pas 

 encore el6 donn^e. C'est qu'a?< lieu de deux foyers seulement , elles en ont toujours 

 trois : c'est-a-dire , qu'oulre les deux foyers qui servent a leur description, elles en ont 

 un troisieme qui joue le meme r6le, aycc 1'un des deux premiers, quo ces deux-ci en- 

 semble. La consideration des trois foyers est bien propre a faire connaitre toutes les 

 formes possibles des lignes aplanetiques. 



Quand 1'un des foyers cst a 1'infini , la courbe devient une conique , et conserve ses 

 deux autres foyers. 



1 On en deduit, entre autres, un theoreme dont M. Quetelet a fait usage dans son Memoire sur <fu.elqv.es 

 constructions graphiques des orbites planbtaires. V. les ffouveaux 3f6moires de I'Academie de Bruxelles, 

 torn, III. 



