354 NOTES. 



tJ serait susceptible d'uQe (n+ 1 )' emc valeur, e"gale a n , mais qui conduirait a 1'identile 



a -i- b +- c... 



<Z -H D -H C -4- ... = (w-t-1) 



n + 1 



voila pourquoi nous avons re'duit a n le nombre des valeurs de <?. 



Deuxie'rne the'oreme : Etant donnees dang un plan m droites , et an (ant de quan- 

 tites a, b, c, .... ; 



n etant un nombre quelconque plus petit que m, on pourra trouver (n -+- 1 ) autres 

 droites, telleg que si I' on prend un point quelconque M dans le plan de ces droites, 

 et qu'on appelle Ma, MS ,.... leg perpendiculaireg abaisseeg de ce point sur leu droi- 

 tes donnees , el Ma. , MS', celles abaissees sur les droites trouvees , on aura entre 



ces perpendiculaires les ^ , ou \ relations , determineeg par la formule 



n -+- I 



ou $ peut avoir les ^- valeurs 0, 1,2,.... ^- , *j n est impair, et leg j va- 

 leurs 0, 1, 2, ^-j-^-t ** n *' pair. 



Si Ton fait <J = o , on aura le the'oreme cxprime' par les propositions 49 et 53 de 

 Stewart. 



Les autres valeurs de 3 donneront d'autres relations , qu'on pourrait 6noncer aussi 

 comme autant de the'oremes difFe'rens; mais qui cependant auront lieu loutes ensemble; 

 et cela, quelle que soil la position du point M. 



Jusqu'ici les the'oremes de Stewart, compris dans les deux th6oremes ge'ne'raux que 

 nous venons d'e'noncer, sont reste's, je crois, sans application, et comme des proprie'te's 

 isole'es d'uu sysleme de points, ou d'un systeme de droites. On peut penser cependant 

 que ces systemes doivent jouir d'autres propri6le"s du me'me genre que ces premieres , et 

 se rattachant toutes a une meme the"orie. J'aurais quelques raisons, par exemple, de 

 supposer qu'un systeme de points donnas, et le systeme des points de'termine's suivant 

 le premier the'oreme en question , jouissent des proprie" le"s communes aux systemes de 

 qualre points qui sont les extrdmiles de deux diametres conjugu6s d'une ellipse. Du 

 moins je formerai de tels systemes de points en nombre quelconque ( systemes particu- 

 liers, il est vrai, c'est-a-dire assuje'tis a une loi de'termine'e), qui pre"senteront toutes ces 

 propri^te's. 



Malgre" cette premiere analogic, je puis me tromper dans mes conjectures. Quoi qu'il 

 en soit, on reconnaitra , je crois , que les theoremes de Stewart ne sont que les premiers 

 pas dans un champ de recherches nouvelles qui me"riteraient d'occuper 1'esprit des 

 ge'ometres. 



