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La construction des deux axes principaux de Thyperbole est extremement facile; car on 

 sait que si, par I'extr6mit6 A du demi-diametre a, on mene une parallele au diaraetre 

 conjugue, elle sera tangente a 1'hyperbole; et si sur cette droite on prend, de part et 

 d'autre du point de la courbe, deux segmens egaux a b, leurs extremites seront sur les 

 deux asymptotes. Tirant done ces deux asymptotes , et divisant en deux 6galement Tangle 

 (ju'elles font entre elles, et son supplement, on aura les directions des deux axes principaux 

 de 1'hyperbole. 



Ainsi le probleme est r6solu tres-simplement. 



Pour transporter cette solution au cas de 1'ellipse, par application du principe' des 

 relations contingentes, il faut y remplacer la consideration des parties contingentes de 

 la figure , qui nous out servi , et qui sont les asymptotes , par la consideration de quel- 

 qu'autre propriet6 de la figure, qui subsiste dans le cas de 1'ellipse. 



Regardons les deux points ou la tangente a 1'hyperbole rencontre les deux asymptotes, 

 comme les foyers d'une conique C, passant par le centre de 1'hyperbole; les asymptotes 

 seront les deux rayons vecteurs de cette conique; par consequent les deux axes principaux 

 de 1'hyperbole, lesquels divisent en deux 6galement Tangle et son supplement , formes par 

 ces deux rayons vecteurs , seront , Tun la tangente, et 1'autre la normale a cette conique C. 

 Ainsi nous pouvons dire que la conique C, menee par le centre de Thyperbole, est tangente 

 a Tun de ses axes principaux. A raison de cette propriete, la conique G servira pour la con- 

 struction des directions des deux axes principaux de Thyperbole, et remplacera, pour cet 

 objet, les deux asymptotes qui nous avaient servi d'abord. 



Mais cette couique G, a laquelle nous a conduit la consideration des deux asymptotes, 

 peut etre construite sans faire aucun usage de ces deux droites ; car nous connaissons la 

 direction de ses deux axes principaux qui sont la tangente et la normale a Thyperbole au 

 point A, et son excentriciie dirig6e suivant la tangente, laquelle excentricite est egale a 

 b, c'est-a-dire au diamelre b\/ 1 de Thyperbole divise par r 1. L'autre excentriciie de 

 la conique C sera dirigee suivant la normale, et egale a la premiere muHipliee par V 1 ; 

 c'est-a-dire a bV 1 '. On a done ce theoreme : 



Si Von reyarde la tangente et la normale en un point A d'une hyperbole , comme 

 les axes principaux d'une conique qui passerait par le centre de 1'hyperbole, et 

 qui aurait son excentricite, diriyee suivant la normale, egale precisement au dia- 

 metre conjugud de celui qui aboutit au point A, cette conique sera necessairement 

 tangente a I'un des deux axes principaux de I'hj/perbole. 



Ce theoreme exprime une propriete generate de Thyperbole, independante des asymp- 

 totes, quoi qn'elles nous aient servi a la demonlrer. Toutes les parties de la figure que 

 comporle celte propriete generate se retrouvent dans Tellipse , nous pouvons done , d'apres 

 le principe des relations contingentes, appliquer cetle propriete a Tellipse; ainsi nous 

 dirons que : 



1 Nous supposons qu'unc conique a quatre foyers, dont deux reels et deux imaginaires; et deux excentricite's, 

 dont une re"elle et 1'autre imaginairc; les Carre's de ces deux excentricite's etant dgaux et de signes contraires. 



