NOTES. 363 



Maintenant regardons cette hyperbole comme la conique excentrique ' d'une surface 

 iln second degr qui passcrait par le centre de I'hyperboloide. Cette surface sera normalc 

 a 1'un des axes principaux du c6ne 2 , qui sont les mmes que ceux de I'hyperboloiide. Mais 

 I'un des axes principnux de cette nouvelle surface est dirige suivant la normale a 1'hyper- 

 boloide au point m, ct les deux autres suivant les diametres principaux de la conique 2, 

 lesquels sont les langentes aux lignes de courbure de 1'hyperboloide. Nous pouvons done 

 rmmcri ainsi le ihdorerae , en faisant abstraction du cAnc asymptote : 



Si, en un point d'un hyperbolo'ide a une nappe , on mene sa normale , et let tan- 

 gentet a set lignet de courbure , et qu'on regarde c troit droilet comme les axe* 

 principaux d'une turface du tecond degre qui passerait par le centre de I'hyperbo- 

 lo'ide , et qui aurait pour normale en ce point I'un det troit axes principaux de cet 

 hyperboloide , la conique excentrique de cette turface , comprise dans le plan tangent 

 a I' hyperbolo'ide, aura let carrot de set diametret egaux , et de signet contrairet , 

 aux carres des diametret parallelet de I' hyperbolo'ide. 



Ce theoreme, par le principe des relations contingentcs , s'applique aux deux autres 

 surfaces douses d'un centre ; on a done cette propriety dc 1'ellipsoide. 



Si I'on regarde la normale en un point m d'un ellipso'ide et let deux tangentes 

 d tet lignet de courbure en ce point , comme les troit axet principaux d'une tur- 

 face du tecond degre qui passerait par le centre de I' ellipso'ide et aurait pour 

 normale en ce point I'un des troit axet principaux de cet ellipso'ide, la conique ex- 

 centrique de cette surface, comprise dans le plan tangent d I 'ellipso'ide , aura let 

 carres de set diametret etjnn.r , et de signe contraire , aux carres det diametret 

 parallelet de I' ellipso'ide. 



Cette conique excentrique sera imaginaire; mais elle servira neanmoins pourconslruire 

 les deux autres coniques excentriques qui seront replies. 



En eflet soient A 2 ct e 2 les Carre's des deux demi-axes principaux de celte conique 

 ( b et o ri;mi les deux demi-axes principaux de la courbe d'intcrsection de 1'ellipsoiide par 

 un plan parallele a son plan tangent au point m); soil b > c; c~ est plus grand que 

 i 2 , et les foyers de la conique imaginaire sont situes sur 1'axe c. 



Sur la norraale a 1'ellipsoide, on portera, a partir du point m, deux segmens gaux 

 respectivement a 4 et a c; 



Dans le plan ddtermind par cette normale el une paral!6Ie a 1'axe c, on decrira une 

 ellipse qui ait pour demi-grand axe, le segment egal a b, et pour excentricit le segment 

 egal a c ; 



Dans le plan determine par la normale et une parallele a 1'axe b, on decrira une 



de 1'hyperboloide, parallile it cette tangentc ; parce que te plan men< par cette tingente et ce diametre coupe 

 1'hyperbololde luivant une hyperbole. 



1 II e>t n^cettaire , pour I'intclligence de ce qui va luivre , de prendre une connaiance pr^alable de lu 

 Note XXXI, ou nou< eipliquont ce que nous entendoni par coniquea ercentriqvtt d'une >urface du second degr^, 

 et Taiioni connaitre diverse! proprie'te's de cei courbe*. 



2 I'tir NOTE XXXI , art. 1 1. 



