NOTES. 365 



le produit det distances au point m est egal au carre du demi-diametre de la turf ace , 

 qui ett normal au plan principal P. 



On peut encore determiner les longueurs des axes principaux de 1'ellipso'ide sans con- 

 naitre leurs directions; en construisant trois surfaces dont les axes majeurs sont egaux 

 respectivement a ces trois axes principaux. Cela depend d'un theoreme que nous allons 

 demonlrer. 



La surface qui a pour axes principaux la norraale ct les tangentes aux lignes de mm - 

 IMI iv ilc I'cllipso'ide au point m, et qui passe par le centre de cet ellipso'ide et louche en 

 ce point 1'un de ses plans principaux, ce tie surface, dis-jc, a le carredeson derni-axe dirige 

 suivant la uormale egal au produit dcs segmens fails sur cette normale, a parlir du 

 point in , par le plan principal ct le plan diametral pcrpendiculaire a celte normale '. 

 Done, d'apres le lhe"oreme que nous veiions d'dnoncer ci-dessus, cet axe de la surface 

 est egal a 1'axe de 1'ellipsoide perpendiculaire au plan principal. On a done ce theoremc : 



Quund deux surfaces du second degre sont telles que chacune d'elles ait son centre 

 sur i'autre et teg trots axes principaux diriges suivant la normale et les deux tangen- 

 tes aux lignes de courbure de cette autre, I' axe de la premiere surf ace dirige suivant 

 la normale a la seconds est egal a I' axe de la seconde surface dirige suivant la nor- 

 male a la premiere. 



On conclut de la que : 



Si Von regarde la normale en un point d'une surface du second degre, et les tan- 

 gntes aux deux lignes de courbure en ce point , comme les trois axes principaux 

 communs a trois surfaces passant par le centre de laproposee, et tangentes respecti- 

 vement a ses trois plans diametraux , les axes principaux de ces trois surfaces, diri- 

 ges ini ni at la normale a la propose, seront egaux respectioement aux trois axes 

 principaux de cette surface. 



Quand la surface proposed est un ellipso'ide determine^ settlement par trois diametres 

 conjugue's, nous avons vu comment on determine les coniques exceutriques communes 

 aux trois aulres surfaces, ce qui suflil pour la conslruclion de ces surfaces; ce dernier 

 theoremc pourrail done servir, a la rigueur, pour rsoudre la question de determiner les 

 longueurs des trois diamelres principaux de 1'ellipso'ide, sans connaitre leurs directions. 

 Mais cette maniere serait difficile cl peu pralicable. Ndanmoins le ihe'oreme sur lequel 

 elle repose nous a paru me>iler d'elre connu, comme exprimant une belle proprietd 

 generate dcs surfaces du deuxicme degr6. 



Les iheoremcs pr6cedens conduisent , sans difficulle , a plusieurs aulres qui ofTrenl 

 quelqu'inlercl. 



Par 1'exlrdmile m d'un des Irois diamelres conjugues, menons deux droiles egales et 



1 Cell rrsult i- de ce tlu-nrrmr , connu dans la theoric ^Mmentaire del inrfacet du second degre , qne <> le plan 

 tangent en un point de la surface et le plan im-ne' par ce point perpendiculairement a 1'un des trois diametrei 

 principaux, font sur ce diametre , a partir du centre de la surface, deux segmens dont le produit est egal an 

 carrc du demi-diametre. 



