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dire que 1'emploi du mot imaginaire esl une manierc abregee de s'exprimer , et qui signific 

 quo les raisonnemens quo Ton fait s'appliquent a un autre i':l;il general du la figure, 

 dans lequel Ics parties sur lesquelles on raisonne existeraicnt reellement, au lieu d'y elre 

 imaginaires comme duns la figure proposde. Et commc , d'apres ic principe des relations 

 contingentes, ou si 1'on veut, d'apres Ic principe de continuity, Ics veriMSs ilriiituitn'r- 

 pour Inn des deux etats gdneraux de la figure s'appliquent a 1'autrc clat , on voit que 1'em - 

 ploi ctla consideration des imaginaires se trouvent completemenl justifies. 



Nous devons faire ici une observation importante. La voici : 



Etant donnee une figure, dans laquelle se trouvenl des parties imaginaires , on pcut 

 toujours, d'apres ce que nous venous de dire, en concevoir une autre, de construction 

 aussi generale que la premiere, et dans laquelle ces parlies qui elaienl d'abord imagi- 

 naires, sont reelles; mais, et c'cst en cela que consiste notrc observation, il n'est jamais 

 permis de raisonner, ni d'operer sur la premiere figure elle-mAme, en y regardant 

 comme reelles , certaines parties qui y sont imaginaircs. Par cxemple , si une expression 

 donnee par le calcul , pour determiner un point sur une droite, est imaginaire, ce point 

 sera lui-me'me imaginaire; et on commettrait une faute tres-grave en construisant ce 

 point comme si son expression 6tail relle. Le point ainsi construil n'appartiendrait point 

 a la figure, ni a la question proposed; et lous les r&>ullats deduits de la consideration di- 

 ce point seraient empreints d'erreurs. 



Ainsi, dans chaque systeme de diametres conjugues dc 1'hyperbole, les directions des 

 deux Ji.imrl ITS sont reelles ; mais la longueur de 1'un des deux diamelres est toujours 

 imaginaire; le carr de cetle longueur est rel, el Ics proprieltSs g6nrales de 1'ellipse, ou 

 n'enlrent que les carres des diaraelres conjugu6s, s'appliqueront a 1'hyperbole comme a 

 1'ellipse; mais celles des propriels dont il s'agit, ou ces longueurs ne sont employees 

 qu'au premier degr6, n'auront plus d'applicalion dans 1'hypcrbole, parce que si 1'on vou- 

 lait construire 1'axe imaginaire de 1'hyperbole en le supposant rdel, on commettrait une 

 crreur; la ligne ainsi construite, et le point qui scrait son rUn'-mitr , n'apparliendraient 

 pas a la figure, ni a la question proposee, mais bien a une autre figure et a une autre ques- 

 tion. 



Ce serait une chose inleressanle, de rechercher les rapporls et la correlation qui peuvent 

 avoir lieu entre les proprietes de deux figures, dans 1'une desquelles on a construit, 

 comrae lant supposdes reelles , des parlies qui dans 1'aulre sont imaginaircs '. Tels 

 sont 1'hyperbole equilatere, et le cercle d6crit sur son axe principal comme diametre. 

 Toute corde du cercle, perpcndiculairc a cet axe, a son carre reel: si son pied sur 1'axe 

 est dans I'inldrieur du cercle, cette corde a aussi sa longueur reelle; mais si son pied est 

 audehors du cercle, cette longueur est imaginaire, bien que son carre soil reel ; si on la 

 construil en la supposant reelle, son extrdmile ddlerminera un point qui appartiendra a 

 une hyperbole equilatere. El la corde en queslion jouirade proprieles diiTerentes, suivant 



1 Ce qni recent, en analyse, l\ changer l/TT en l/^I, ou , plu ge"n<ralcmeut , VanUi en 1'une de e 

 rarine , dan certains terme* del forinules appurtenant ,'i la question propot^e. 



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