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NOTE XXYIII. 



(CINQUIEME EPOQUE, 27.) 



Generalisation de la theorie des projections stereographiques . Surface du 

 second degre tangente a quatre autres. 



Les deux theoremes dont on fait usage dans la theorie des projections ste>6ographi- 

 ques, consideree comme methode de recherche, deviennent les suivaus, dans cette 

 theorie gene'ralise'e comme nous 1'avons dit , c'est-a-dire, quand on prend le lieu de 1'ceil 

 en un point quelconque de 1'espace : 



Si I' on fait la perspective d'une surface du second degre sur un plan quelconque , 

 I'oeil etant place en un point de 1'espace , prig arbitrairement au dehors de la surface: 



1 Les projections des courses planes tracees sur la surface seront des coniques 

 ayant toutes un double contact , reel ou imaginaire , avec une conique unique, qui 

 sera la perspective du contour apparent de la surface; 



2 Le pole de la corde de contact de chaque conique avec la conique unique sera la 

 projection du sommet du cone circonscrit a la surface , suivant la courbe plane dont 

 cette premiere conique sera la projection. 



A ces deux premiers principes , il sera utile dejoindrece troisieme ; 



Les projections de deux droites polaires reciproques par rapport a la surface, sont 

 deux droites dont chacune passera par le pole de I'autre; ces poles etant pris par 

 rapport a la conique unique. 



Au moyen de ces trois theoremes , on parvient avec une facilite extreme i la d^couverte 

 des nombreuses propri6t6s d'un systeme de coniques inscrites dans une meme conique 

 unique; et il n'est besoin, pour ainsi dire, d'aucune demonstration, parce qu'il suffit de 

 contempler dans 1'espace , et de traduire sur le plan , les relations apparentes des courbes 

 tracers sur la surface du second degre. 



De cette theorie des coniques d6crites sur le plan , il est facile de s'elever a la thdorie 

 analogue dans 1'espace , c'esl-a-dire aux propri6ls d'un systeme de surfaces du second 

 degre , inscrites dans une meme surface unique du second degr. Nous appelons surfaces 

 inscriles 1'une a I'autre, deux surfaces se touchant suivant loute l'6tendue d'une courbe. 

 Pour deux surfaces du second degnS , cette courbe de contact est plane. 



On parvient ainsi a de nombreuses proprieles des surfaces du second degr6, et a la 

 solution d'un grand nombre de questions relatives aux contacts de ces surfaces, et dont 

 toutes celles concernant les contacts des spheres, ne sont que des cas particulicrs. Et ce 



