NOTES. 373 



que cette th6orie peut oflrir de satisfaisant aux g6ometres qui aiment a rechcrchcr la plug 

 grandc g6neralisution possible , c'est que toutes ces questions ne sont elles-mdmes dans 

 leur -rm'-i .1 1 iir , que les corollaires d'une seule , qui les comprend toutes dans son nonc6 

 et dans sa solution ; la voici : 



Probleme. I i.mt donnees quatre surfaces du second degrd intcrite dan* une meme 

 turfaee du second degre E , decrire une surface du mime degre qui louche let quatre 

 premieres , el qui soil , comme elles , inscrite dans la surface E. 



La solution de ce probleme est extrc'mement simple ; mais pour la presenter avec 

 nettet6 ct precision , il nous sera utile d'admetlre quelques definitions : 



Qtiand deux surfaces du second degr6 sont inscrites dans une mme surface du second 

 degr , elles se coupent suivant deux courbes planes, reelles ou imaginaires, raais dont 

 les plans sont toujours rdcls; nous appellerons ces plans, par analogic avec la dnomina- 

 tion d'axes de symptose dans les coniques . plans de symptose des deux surfaces. 



Les deux surfaces jouissent aussi de la propri6t6 , qu'on peut leur circonscrire deux cdncs 

 du second degre" ; r^els.ou imaginaires, mais dont les sommets sont deux points toujours 

 r6els. Nous nous servirons, pour ddsigner ces deux points, de I'expression de centres 

 d'komologie des deux surfaces , employee par M. Poncelet. 



Nous appellerons droite de symptose des deux surfaces, toute droite comprise dans 

 I'MII de leurs deux plans dc symptose, et plan d'homologie , tout plan men par 1'un de 

 leurs deux centres d'homologie. 



Maintenant concevons trois surfaces du second degr6 , inscrites dans une meme surface 

 du meme degr6 , elles auront, deux a deux, deux plans de symptose ; en tout six plans de 

 symptose. 



On demontre que ces six plans passent , trois par trois, par quatre droites ; et que 

 les quatre droites concourent en un meme point de I'espace. 



De sorte que Ics six plans de symptose sont les quatre faces au sommet , et les deux 

 plans diagonaux d'une pyramide quadrangulairc. 



Nous dirons que chacunedes quatre droites par lesquelles passent, trois a trois, les six 

 plans de symptose, est une droite de symptose commune aux trois surfaces; et qu'un 

 point quelconque de 1'une de ces quatre droites est un point dc symptose comtnun aux 

 trois surfaces. 



Considdrons les centres d'homologie des trois surfaces : prises deux a deux, elles en ont 

 deux ; ce qui fait six centres d'homologie. 



On de'montre que ces six centres d'homologie sont, trois par trois , sur quatre droites, 

 et que ces quatre droites sont dans unmeme plan. 



De sorte que les six centres d'homologie sont les quatre sommets et les deux points de 

 concours des c6ts opposes d'un quadrilalere. 



Nous appellerons droite d'homologie commune aux trois surfaces, chacune des quatre 

 droites sur lesquelles sont, trois a trois, les six centres d'homologie des trois surfaces , et 

 plan d'homologie comtnun aux trois surfaces, tout plan men6 par 1'une de ces quatrc 

 droites. 



