374 NOTES. 



Concevons quatre surfaces du second degre , inscrites dans une me'me surface du second 

 degre. 



On de'montre que ceg quatre surfaces ont huit points de gymptose qui leur sont 

 communs ; c'est-a-dire qu'il existe dans 1'espace huit points , dont chacun se trouve sur 

 un plan de symptose de chaque combinaison des quatre surfaces deux a deux. 



De sorte que chacun de ces huit points est le point d'intersection commun a six des 

 douze plans de symptose qu'on obtient en combinant les quatre surfaces deux a deux. 



De me'me, on d^montre que les quatre surfaces ont twit plans d'homologie communs ; 

 c'est-a-dire qu'il existe huit plans, dont chacun passe par un centre d'homologie des 

 quatre surfaces prises deux a deux. 



De sorte que chacun de ces huit plans contient six des douze centres d'homologie, 

 qu'on obtient en combinant les quatre surfaces deux a deux. 



Tout ceci admis , nous pouvons donner un 6nonc6 facile de la solution du probleme 

 proposed 



Premiere solution. On construira les huit plans d'homologie communs aux quatre 

 surfaces, et leurs huit points de symptose communs. 



On prendra, par rapport a 1'une quelconqnie A des quatre surfaces, les p6Ies des huit 

 plans d'homologie, et on joindra par une droite, chacun de ces p&les a chacun des huit 

 points de symptose; on aura ainsi soixante-quatre droites , qui rencontreront la surface 

 A en cent vingt-huit points ; dont chacun sera le point de contact d'une surface cherchee 

 avec la surface A. 



Seconds solution. Apres avoir construit, comme pour la premiere solution, les huit 

 points de symptose, et les huit plans d'homologie communs aux quatre surfaces, on 

 prendra les plans polaires de ces huit points de symplose , par rapport a 1'une quelconque 

 A des quatre surfaces; ces huit plans polaires rencontreront chacun des huit plans 

 d'homologie suivant huit droites; on aura ainsi soixante-quatre droites, par chacune 

 desquelles on m6nera deux plans tangens a la surface A. Chaque point de contact des 

 cent vingt-huit plans tangens ainsi menes , sera le point oii 1'une des surfaces cherche'es 

 touchera la surface A. 



On voit , par chacune de ces deux constructions , que le probleme admet, dans sa plus 

 grande gdneralite" , cent vingt-huit solutions. 



II est utile de remarquer, pour la discussion des cas particuliers, tres-nombreux, 

 renferme's dans ce probleme gn6ral, et pour lesquels le nombre des solutions peut 

 diminuer conside'rablement, que ces solutions sont donndes seize a seize par chaque plan 

 d'homologie, ou par chaque point de symptose commun aux trois surfaces. De sorte qu'il 

 s'e'vanouira autant de fois seize solutions, qu'il manquera de plans d'homologie, ou de 

 points de symptose communs aux quatre surfaces. 



Par exemple,si les quatre surfaces sont des spheres , elles n'auront qu'un point de 

 symptose (c'est le point que M. Gaultier a appe!6 centre radical des quatre spheres.) II n'y 

 aura done que seize solutions. 



II peut paraitre tonnant , au premier abord , que quatre spheres situe'es d'une maniere 



