NOTES. 377 



nit- des denx courbes consiste en cc que la premiere so forme de la seconde, comme 

 celle-ci s'est formee de la preraiire. (Voir Corretpondance tur I'ecole Poly technique , 

 torn. I", pag. 73, ann. 1805.) 



Le Memoire de Monge tur let turfacet reciproquet se trouve indiqud dans une liste 

 de ses difl'e'rens mdmoircs, placee au commencement de son Application de I'analyte a 

 la Guomutrie ( troisieine edit. , ann. 1800). II devait faire partie des memoires de 1'Institut 

 ann6e 1808; mais je crois qu'il n'a point td public. Au titre dc cc memoire est jointe, 

 en ces termes, la definition des turfacet reciproquet : 



x, y, z, ('riant les coordonnees d'un point d'une surface courbe, pour lequel on a 

 1'equution diHcrcntielle dz =pda> -t- qdy, les coordonnees x , y', z' de son point re- 

 ciproque ont pour expressions 



X '=P> !/' = ?> *' = px -t- qy *. 



Le lieu de tous ces points re'ciproques est la surface reciproque de la surface pro- 

 IMIM'T. La reciprocite de ces deux surfaces consiste en ce que la premiere surface est 

 le lieu des points r6ciproques de la seconde , comme la seconde est le lieu des points 

 re'ciproques de la premiere. 



C'est-a-dire , que les valeurs de x, y, z en x' ', y', z' auront la raeme forme que celles 

 de x', y', z' en x, y , z. Et en effet on trouve 



* =/>'> y = 9' * =f'x -f- q'y' *'. 



On reconnait a 1'inspection de ces formules que a chaque plan tangent de la premiere 

 surface , correspond un point de la teconde; et que , quand cet plant tangent pattent 

 par un meme point, cet points , qui leur corretpondent , font tur un memeplan. 



En rllt-t , le plan tangent au point (x, y, z} de la premiere surface est determine par 

 les valeurs des coordonnes de ce point et les valeurs des deux coefficiens di{Te>entiels / 

 et '/. Ges valeurs donnent aussi la position du point (./', y', z') qui correspond a ce plan 

 tangent. 



Maintenant, si ce plan tangent, dont 1 equation est 



passe par un point fixe (a, , y) , on aura entre les coordonnes de son point de contact 

 (n, y, z), la relation 



* v = p(ar_ a ) -f. 9 (y f). 

 Subslituant dans cette equation les valeurs de x,y, z en x', y', z', p' et q' , on a 



s' -4- y= ax' -4- Si/' , 



equation d'un plan , comme il fallait le trouver. 



\insi les surfaces r^ciproques de Monge peuvent 6tre consid6r^cs comme des trans- 

 formes 1'une dc 1'autre suivant le principe de dualitt. 



TOM. XL 48 



