378 NOTES. 



Et en effet ces surfaces sont tout ^implement polaires reciproques par rapport ait 

 paraboloide de revolution qui a pour equation 



Cette construction gom6trique des surfaces de Monge fait voir qu'elles ne sont qu'un 

 cas particulier d'une classe g6n6rale de surfaces reciproques , qu'on peut exprimer ana- 

 lytiquement comme celles-la, et qui, considerees geometriquement, sont des polaires 

 reciproques par rapport a une surface du second degr6 quelconque. 



II est a regretter que !e memoire de Monge n'ait pas etc public. II cut et6 interessant 

 de connaitre la voie qui Fa conduit a 1'invention de ses surfaces reciproques, et pre'ci- 

 s6ment de celles dont 1'expression analytique est la plus simple parmi une infinite d'au- 

 tres; dc savoir si c'est la theorie des p61es dans les surfaces du second degre qui a guide 

 ce grand georaetre; et surtout quel usage il faisait de la consideration de ses surfaces 

 reciproques. 



Nous savons que les courbeg reciproques lui ont offert un moyen de ramener aux 

 quadratures 1'integration des equations differentielles a deux variables, de la forme 

 y = arFp +- fp , F et f etant des fonctions quelconques de p = 



D'apres cela, il est naturel de penser que Monge a imagine pour le meme usage les 

 surfaces reciproques; et qu'elles lui ont servi a integrer des equations aux differences 

 partielles a trois variables. 



Et en effet, on reconnalt qu'elles peuvent e"tre propres pour cet usage. 



Soit, par exemple, a intgrer 1'equation aux differences partielles 



F(^, y, z, p, q) = o; 



On la regardera comme appartenant a une surface A, c'est-a-dire , que son integrate se- 

 rait 1'equation de la surface A. 



A 1'equation differentielle proposee correspondra une equation appartenant a une sur- 

 face A' reciproque de A; cette equation sera 



F (p'> i'i p' x ' -*- ?y ~ *'> x> > y') = - 



Si cette equation, qui est diflerente de la proposee, est integrable, on obtiendra par 

 1'integration une equation /"(a?', y', z) =o, qui sera 1'equation finie de la surface A'. 



On passera de cette equation, par la voie de 1'eiimination, a 1'equation de la surface 

 reciproque de A', qui sera la surface A; celte equation sera done 1'integrale de 1'equation 

 proposee. 



Si 1'equation proposee contenait les coefficiens differentiels du second ordre 



_ tfz. d'z tfz 



dx' ' dxdij ' dy* ' 



la methode serait la m6me. On passerait a 1'equation differentielle en x',y', z' ,p', q , ',*', f, 



