380 NOTES. 



Cette difficult6 doit faire regretter vivement que le travail de Monge, qui avail d6ja tant 

 contribu6 aux progres de la science dans ce genre d'analyse si epineuse, ne nous soil pas 

 parvenu. 



Nous avons dit que les surfaces r^ciproques de Monge e'taient, parmi les surfaces po- 

 laires reciproques , celles dont 1'expression analytique e"tait la plus simple. Nous devons 

 ajouter qu'il est une autre espece de surfaces reciproques, analogues a celles de Monge , 

 qui sont d'une e'gale simplicity dans leur expression analytique , mais qui ne font pas 

 partie des surfaces polaires. 



Voici les relations de ces nouvelles surfaces r6ciproques : 



x , y, z e'lant les coordonne'es d'un point d'une premiere surface, et x' , y', z' \ les 

 coordonn^es du point correspondant de la surface rciproque, on aura 



x' = q , y' = p , z' = fx qy +- 2 , 

 et 



Ges formules pourront servir, comme celles de Monge , pour I'intdgration des Equations 

 aux differences partielles; et il pourra arriver qu'elles conviennent dans des cas ovi les 

 autres ne conviendraient pas , c'est-a-dire , ne conduiraient pas a une Equation integrable. 

 Car liquation proposed 6tant 



F(#, y, z > p, q~) o, 



on la transforme , par les formules de Monge en celle-ci : 



f (p'> 9', p' x ' -+- q'y' z ' x '> y' ) = ; 



Et par les nouvelles formules , en la suivante : 



II est possible que cette seconde equation se pr6te plus facilement aux methodes d'int^- 

 gration que la pre'ce'dente. 



Les relations des coefficiens diff6rentiels du second ordre sont aussi simples que dans 

 les formules de Monge. On les obtient en diffe'rentiant sucoessivement les deux Equations 

 x = q', y p', par rapport a #,puis par rapport a y, et en regardant q et p comme 

 fonctions de x' et y'. On a ainsi quatre Equations , dont trois comportent la quatrieme , 

 et d'oii Ton tire les expressions 



et 



r'f s" 



