384 NOTES. 



NOTE XXXI. 



(CINQUIEME EPOQUE, 48.) 



Proprietes nouvelles des surfaces du second degre , analogues a celles des 



foyers dans les coniques. 



1. Proprietes des coniques excentriques d'une surface du second degre. 



(1) La tangente et la normale , menses par chaque point d'une conique, vont rencon- 

 trerchacundes deux axes principaux de lacourbe en deux points, qui sont conjugues 

 harmoniques par rapport a deux points fixes; 



Ces deux points fixes sont rtSels sur le premier axe de la courbe; ce sont les deux 

 foyers ; et ils sont imaginaires sur le second axe *. 



Voici le th6oreme analogue dans les surfaces du second degre 1 : 



La normale et le plan tangent , mene's en un point quelconque d'une surface du 

 second degre, rencontrent chacun des trois plans diametraux principaux de la sur- 

 face 2 . en un point et suivant une droite ; 



Ce point est toujours le pole de la droite , par rapport a une certaine conique , situee 

 dans le plan principal ; 



Sur le plan du grand et du moyen axe de la surface, cette conique est une ellipse ; 



Sur leplan du grand et du petit axe , elle est une hyperbole ; 



Etsur leplan du moyen etdu petit axe , elle est touj ours imaginaire. 



(2) On peut encore conside'rer comme correspondant a la propriety des coniques que 

 nous avons 6nonc6e , le th^oreme suivanl : 



5V, en chaque point d'une surface du second degre , on mene la normale a la 

 surface , et les tangentes aux deux lignes de courbure qui se croisent en ce point , 

 ces trois droites iront rencontrer chacun des trois plans diametraux principaux de 

 la surface en trois points qui seront tels que la polaire de chacun d'eux , prise par 

 rapport a une certaine conique situee dans ce plan , passera par les deux autret. 



(3) Les trois coniques que Ton obtient , soil par ce theoreme, soil par le precedent , sont 



1 Ces deux points donnent lieu a deux foyers imaginaires sur le second axe. De sorte qu'on peut dire que la 

 conique a quaire foyers , dont deux toujoura reels , situes sur le grand axe , et deux toujours imaginaires, situes 

 sur le petit axe. 



3 Nous supposons que la surface a un centre ; mais les the'oremes que nous aliens 4noncer s'appliqueront 

 d'eux-memes aux parabololdea. 



