NOTES. 395 



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 (art. 053 du Traite" de fluxions ) , et cclle demonstration est directe, et nc n6cessil 



pas, cornme celle de Macluurin, la connaissancc prdalable de ('attraction d'un ellipsoide 

 de revolution sur les points situ6s sur son axe dc revolution. 



(43) On dt'moiilrr iiisruifiil que : Quand deui coniques ont les m6mes foyers , 

 si d'un point, pris sur 1'un de leurs axes principarux , on leur mene deux tangentes, 

 les cosinus des angles qu'clles feront avec 1'aulre axe principal seroiit entre eux 

 comme les deux diametres des coniques diriges suivant cet axe. 



Pareillcment : 



Quand deux surfaces du second degre" ont les memes coniques excentriques , si par 

 wne droite sittte'e dunx I'un de leurs trois plans principaux on leur mene deux plans 

 tangens , les cosinus des angles qu Us feront aoec I' axe principal perpendiculaire a 

 ce plan seront entre eux comme les diametres des surfaces diriyes suioant cet axe. 



(44) Cc thloremc aurait pu r^suller de 1'analyse employee par M. Legendre dans son 

 iiuMiiiiirr sur ('attraction des ellipsoides >, si ce celebre geomelre cut cherche la signifi- 

 cation geometrique des formules analyliques par lesquelles il lui a fallu passer pour re"- 

 soudre directement cette question difficile. Mais nous croyons pouvoir dire que cette 

 traduction, en langage ordinaire, des formules de M. Legendre, aurait conduit a beau- 

 coup d'autres resultats inldressans. Ainsi Ton y aurait vu que les surfaces coniques dont 

 il se sert pour repr^senter la marche de scs integrates , ont toutes pour axes principaux 

 communs ceux de la surface conique circonscrite a I'ellipsoi'dc attirant ; et que Tun de 

 ces axes est precisement cette droite qui jouit d'une propriete de maximum, et qui joue 

 un r61e important dans cette maliere. Cctle propriete de maximum est exprime'e par 

 M. Legendre analytiquement par une Equation du troisieme degre ; en Geometric elle 

 signific que : Si autour du point attire" on fait tourner une transversale et qu'on 

 prenne la difference des valeurs inverses des distances de ce point aux deux points 

 ou la transversale rencontre la surface de I'ellipso'ide, cette difference sera un 

 maximum quand la transversale aura pour direction celle d'un des trois axes 

 principaux du cone circonscrit a I'ellipso'ide , et qui a pour sommet le point attire. 



Et on trouve que quand cetle difference, au lieu d'etre un maximum , doit <:tre con- 

 stante, alors la transversale d6crit un c6ne du second degre. Ce sont la les cdnes dont 

 M. Legendre s'est servi. Leur propriete commune est qu'ils passent tous par les courbes a 

 double courbure du quatrieme degre, qui sont les intersections d'un certain hyperbo- 

 lo'ide a deux nappes par une serie de spheres concenlriques. 



(45) Nous ferons remarquer que tous les theoremes que nous avons presentes jus- 

 qu'ici sont de la plus grande generalite , a 1'exceplion des deux derniers ; c'est-a-dire que 

 dans ces theoremes, les points, les plans, les droites, que Ton avail a considerer par rap- 

 port aux surfaces du second degr6, avaient des positions tout-a-fait arbilraires dans 

 1'espace. Dans les deux derniers, au conlraire, le point par lequel on mene les transver- 

 sales est pris necessairemcnt sur 1'un des axes principaux des surfaces, cl la droile par 



1 Voir lea Memoires de I'Acadimie des Sciences . ann. 17S8. 



