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NOTE XXXII. 



( CINQUIEME EI'OQUE , 49). 



Theoremes analogues, dans les surfaces du second degrd, aux theoremes de 

 Pascal et de M . Brianchon dans les coniques. 



(1) Soit un hexagonc inscrit dans une conique. Ses trois c6tes de rang impair, pro- 

 longed jusqu'a leur rencontre, forment un triangle; et les cote's de rang pair sont trois 

 cordes de la conique , comprises respectivement entre les trois angles de ce triangle. Le 

 theoreme de Pascal exprime que ces trois cordes rencontrent respectivement leg trois 

 cotes opposes du triangle en trois points qui sont en ligne droite. 



On peut done, pour exprimer le theoreme de Pascal , substiluer a la consideration de 

 1'hexagone celle d'un triangle trace dans le plan d'une conique. 



C'est en envisageant sous ce point de vue ce thdoreme, que nous aliens le transporter 

 aux surfaces du second degr6 , oii son analogue sera unepropritt5 d'un tetraedre dont les 

 aretes rencontrent une surface du second degr6. 



(2) Voici qnel est ce theoreme : 



Quand les six aretes d'un tetraedre , place d'une maniere quelconque dans I'es- 

 pace , rencontrent une surface du second degre en douze points; ces douze points 

 sont trois a trois sur quatre plans , dont ckacun contient trois points appurtenant 

 aux trois aretes issues d'un meme xojnmet du tetraedre ; 



Ces quatre plans rencontrent respectivement les faces opposees a ces sommets , 

 suivant quatre droites qui sont les generatrices d'un meme mode de generation d'un 

 liyperbolo'ide a une nappe. 



On peut former plusieurs systemes de quatre plans qui contiennent, trois par trois, 

 les douze points de rencontre des aretes du tetraedre et de la surface ; le th^oreme aura 

 lieu pour chacun de ces systemes. Par exemple , si les quatre sommels du telraedre sont 

 dans 1'inleVieur de la surface , on pourra prendre les quatre plans en question de maniere 

 que chacun d'eux contienne les trois points ou les aretes issues de chaque sommel respec- 

 livement , et non les prolongemens de ces areles , rencontrent la surface. 



Getle propri6t6 du tetraedre, consider^ par rapport a une surface du second degr6, cor- 

 respond , comme on voit , a la propri6t6 du triangle trace 1 dans le plan d'un conique, qui 

 est exprim6e par le theoreme de Pascal ; et c'est sous ce point de vue que nous presentons 

 le theoreme ci-dessus comme 1'analogue , dans 1'espace, de celui de Pascal. 



Si les six aretes du tetraedre sont langentes a la surface du second degr6, il n'y aura 



