NOTES. 439 



Lcs segmens quc ccs perpendiculaircs font sur la base AD , sont : 



AE = - (ab 1 ba'), DE = - (no' -+- bb') , 

 c c 



DF=- (bb' ao'), AF= - (ah 1 -4- fin'). 

 c c 



Les segmens faits sur les deux diagonales, a leur point d'intersection, calculees par la 

 regie du 30-31 , sont : 



AO = 06' , CO = a'b , BO = aa' , DO = bV. 



La perpendiculairc 01, dans le triangle AOD , calcuhSe, cotnnie il esl dit au 30-31 , 

 (ou par uue proposition rsultanlc de la similitude des deux triangles EBD, IOD), est 

 01 =^; et son prolongementOL, jusqu'u la base supe>ieure, est dgal , suivant la regie 

 du nn'-mc paragraphe, a la demi-somme des deux pcrpendiculaircs BE, CF, moins 01 5 

 d'oii OL = i ao. 



l'n li M nous n'avons pas besoin de donner les expressions des segmens faits sur les diago- 

 nales et les perpendiculaires , par leur intersection, non plus que sur les c6t6s opposes ; 

 parce que tous ces segmens, dans un quadrilatere quelconque , sont exprime's ralionnelle- 

 n icnt en fonction des c6l6s, des diagonales ct des perpcndiculaires. 



Ainsi toutes les parties de la figure sont rationnelles. 



Nous pouvons done regarder la proposition du 38 comme ayant eu pour objet dc 

 former un tetragone ayant ses qualre c6t6s ine"gaux, qui fut inscriptible au cercle, et dans 

 lequel toutes les expressions que Brahmegupta a appris a calculer par ses autres proposi- 

 tions , fussent ralionnellcs. 



Ces expressions ne sont point calcules dans 1'ouvrage indien. On ne doit pas en etre 

 I'lonin' . puisque Brahmegupta se borne toujours au simple enonc6 , le plus succinct pos- 

 sible, de ses propositions , sans en donner aucune demonstration, ni auoune verification 

 </ posteriori. 



Nous faisons cette observation parce que Bhascara donne , commc formant une propo- 

 sition nouvelle qu'il s'attribue, les expressions des diagonales AC, BD, et reproche aux 

 e'crivains qui 1'ont pr6cde, particulierement a Brahmegupta, d'avoir omis cette regie, 

 beaucoup plus courte , dit-il , que la formule du 28 qu'ils ont donnee. 



Les valeurs assignees aux c6le"s du quadrilalere par I'nonc6 de la proposition 38, el 

 les valeurs que nous avons trouvees pour les segmens OA , OB , OC , OD , font voir que les 

 c6t6s dechacun des quatre triangles AOB,BOC,COD, DOA, qui sont rectangles en Get 

 qui composentle quadrilatere, proviennent respectivement de la multiplication des trois 

 cote's de chaque triangle generateur, par un c6t6 de 1'aulre triangle. Ainsi les trois c6t6s 

 du triangle AOB sont ac' , ab' , aa ; ils provienncnt de la multiplication des cAt^s c' , b' , 

 ./ . ilu second triangle g6n6rateur parlec6t6 a du premier. 



On pent done, non-seulement ddterminer les quatre cdtds du quadrilatcre, au moyen 

 des deux triangles glngraleurs, mais aussi effectuer la construction du quadrilatere. Car 



