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il suflit de former, comme nous venons de le dire, les quatre triangles rectangles AOB, 

 BOG, COD, DOA , et de les rdunir ensemble. C'est ainsi que les scoliastes, parliculiere- 

 raent Ganesa, dans ses notes sur 1'ouvrage de Bhascara, ont compris la construction du 

 quadrilalere; et ont suppled de la sorte a la condition d'inscriptibilite au cercle, quo 

 nous supposons avoir did dans les intentions de Brahmegupta. On congoit des lors com- 

 ment Chaturveda a pu faire des applications numeriques des regies de Brahmegupta, en 

 ignorant cette condition d'inscriptibilitd. 



Avec les quatre cotes d'un quadrilalere inscrit au cercle, on peut former deux autres 

 quadrilaleres qui seront inscrits dans le meme cercle. Ainsi , , y, <?, dlant les quatre 

 c6(6s, pris consdcutivement, du quadrilalere, on peut les placer dans 1'ordre , , (?, y, 

 ou bien dans 1'ordre a, y, 6, <?. Ces Irois quadrilaleres ont, deux a deux, une m6me dia- 

 gonale; de sorte que de leurs six diagonoles il n'y en a que trois diflerentes; les trois 

 autres dtanl dgalcs respectivement a ces trois premieres l . 



Si Ton applique cette remarque a la figure de Brahmegupta, les deux nouveaux qua- 

 drilaleres ne seront plus des trapezes, c'est-a-dire , qu'ils n'auront plus leurs diagonales 

 a angle droit. Mais ces lignes seront encore rationnelles ; ainsi que toutes les aulres par- 

 ties du quadrilalere que nous avons calculees pour le trapeze. De sorte que les deux 

 nouveaux quadrilaleres salisfont a la question gdndrale que nous supposons que 1'auteur 

 hindou s'esl proposed ; aussi aurail-il pu comprendre ces deux quadrilaleres dans sa solulion. 



L'exislence de ces deux nouveaux quadrilaleres a did connue de Bhascara, qui a donne 

 1'expression dc la troisieme diagonale; mais qui n'a nullement aper^u quel dtait 1'objet 

 de la proposilion de Brahmegupta, soil par rapport a 1'inscriptibilild au cercle, soil par 

 rapport a la rationality des differentes parties de la figure. 



Celle troisieme diagonale est dgale a cc. G'est prdcisdmcnt la valour du diamclre du 

 cercle circonscrit au quadrilatere. Ce qui prouve que le quadrilalere a deux angles droils 

 qui sont opposes. Gette forme parliculiere du quadrilatere, qui mdrite d'etre remarqude, 

 ne 1'a pas die par Bhascara 2 . 



1 Ces trois quadrilateres ont la memc surface. Leurs trois diagonales diffe'rentes ont avec cette surface ct le 

 diametre du cercle circonscrit une relation qui consistc ence que : Leproduiti.es trois diagonales, divlsa par 

 le double du diametre du cercle circonscrit , est egal a Faire dc Vun des quudrilatcres. 



Cette proposition parait due a Albert Girard, qui 1'a e'nonce'e dans sa Trigonometric. Nous ne trouvons pas 

 qu'elle ait eHe reproduite depuis. 



2 Cette propridte du cjuadrilatere , d'aToir deux angles droits, fait voir que la question de construire un 

 quadrilatere inscriptible au cercle , dont les cotes , Taire , les diagonales , les pcrpendiculaires , ainsi que le 

 diametre du cercle, soient exprime's en nombre rationnels, est susceptible d'une solution tres-simpte , qui con- 

 siste a prendre pour le diametre du cercle un nombre rationnel quelconque , et a decomposer de deux manieres 

 differentes le carrd de ce nombre en deux aulres carres. Les racines de ces nombres carres seront les cote's du 

 quadrilatere. On formera de cette maniere les memes quadrilateres que par la methode de Brahmegupta. 



II est facile de voir que Ton peut encore operer ainsi : Que Ton prenne un triangle scalene quelconque ABC , 

 de maniere que ses cotes et sa perpendiculaire soient des nombres rationnels ; et que par ses deux sommets B , 

 C, on e"leve des perpendiculaires sur les cote's AB, AC, respectivement. Ces droites se couperont en un point D, 

 et le quadrilatere ABDC satisfera a la question. En changeant 1'ordre de ses cote's on formera le tra/iczc de 

 Brahmegupta. 



