NOTES. 441 



Reprenons les expressions do la perpendiculaire CF el du segment FD. On a 

 CF = - (of -*- ba'), FD = - (W oo'). 



C 



Les deux lignes CF, FD, sont les c6tes d'un triangle rectangle, dont I'hypote'nuse est 

 (.11 A-. Ces expressions ne contiennent pas expliciteroent la quantity <' , ni par cons- 

 quent Ic cole 1 CD, mais sculcment les quantity a, b', dont la soinme des Carre's est gale 

 au carre' de c', ou CO = 'A et DO = /// . dont la somme des Carre's est Igale au carr6 

 de CD. Ccs expressions seruicnt done encore rationnelles , quand bien meme c' , ou le cdl6 

 CD, ne Ic serait pas. Par consequent les lignes CF, FD donnent une solution geome"- 

 trique de ce probleme. Decomposer un nombre donne (carrd ou non] en deux nom- 

 bret carre't, connaissant une premiere tolution de la question. 



Remplacons c'', par A; on pourra exprimer ainsi, algebriquement , la question et sa 

 solution; 



Pour resoudre I' equation x 1 +- y* = A , en nombres rationnels, quand on connait 

 un premier tygteme de racinet x', y', de cette equation, on prendra arbitrairement 

 troit nombres carre*, a, b, c, tels que Von ait a' + b'^c 1 ; et les racinet cherchees 



teront 



ay' +- btf 



x = - , 

 c 



by' ax' 

 y =-- 



Ces formules, auxquelles conduit naturellcmcnt la question ge'ome'lrique de Brahme- 

 gupta, contiennent virtuellemenl les forraules g^ndrales pour la resolution de 1'equation 

 Ca? a A=y' ', que Ton a trouv^es, au grand dtonnement des g^ometres europ^ens, 

 dans 1'algebrc de cet auteur hindou, et qui, dans le si6cle dernier, avaient fait honneur 

 au grand Eulcr, qui, le premier, y lait parvenu parmi les Modernes. 



1 En eflet , duns Tdquation & rrsnudrc J 2 -4- y 3 = A , et ilans les deux Equation! de condition x '* + y' 3 = \ 

 et o a -4-A a ^c a , remplacons x par a'V/C, x' par x'\/C, a par oJ/C; elles deviendront 



rt let eipreuiont dei racinet * ct y deviendront, par cea substitutions, 



ay' -+- bx' 



c 

 Cox' ly' 



c 



Ce lont let racinet de 1'equation Cx 9 -f- y 3 = A. 



Xaintenant obiervont que ces racinet latisfont a celte equatiun , qucllet que toient let Tilcurt de deux 



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