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4 Formule qui donne 1'aire du triangle en fonction des c6les, 167. 



Nous 1'enoncerOns ci-dessous, au sujet du quadrilatere. 



Deuxieme partie : Sur le triangle rectangle. 



1 Regies pour former un triangle rectangle en nombres ralionnels; 



Quand un c6te est donn<5, 139, 140, 141, 14.3, 145; 



Quand 1'hypotenuse est donnee, 142, 144, 146. 



2 Conslruire un triangle rectangle dont on connait un c6te et la somme on la diffe- 

 rence de I'hypotdnuse et du second cote, 147, 148,149, 150, 151, 152, 153. 



3 Regie pour determiner sur un c&te d'un triangle rectangle le point dont la somme 

 des distances aux extremites de I'hypot6nuse est egale a la somme des deux c6tes de 1'an- 

 gledroit, 154, 155. 



4 Construire un triangle rectangle dont on connait l'hypotnuse et la somme ou la 

 difference des deux c&lei de Tangle droit, 156, 157, 158. 



Troisieme partie. Propositions sur le quadrilatere. 



1 La demi-somme des col6s est dcrile quatre fois, on en retranche s6parement les 

 cfltds, et Ton fait le produit des restes. La racine carr6e de ce produit est 1'aire, inexacte 

 dans le quadrilatere , mais reconnue exacte dans le triangle ; 167 , 168. 



C'est la formule de Brahmegupta, que Bhascara a copiee, sans 1'avoir comprise, et sans 

 avoir apercu qu'il y etait question de quadrilatere inscrit au cercle. Yoila pourquoi il dit 

 que la regie est inexacte pour le quadrilatere ; et qu'il prouve ensuite qu'il est absurde de 

 demander 1'aire d'un quadrilatere dont on ne connait que les c6t6s , parce qu'avec les 

 memes cole's, dit-il, on peut former plusieurs quadrilateres differens '. 169-170, 

 171, 172. 



2 Dans le quadrilatere equilateral, ou losange , 1'aire est egale a la moitie du produit 



II forme un rectangle qui a meme base que le triangle , et pour hauteur la moitie' de la perpendiculaire. La 

 base supe"rieure du rectangle retranche du triangle un petit triangle qui est divise par la perpendiculaire en 

 deux triangles rectangles. Ceux-ci sent egaux respeclivement aux deux triangles qu'il faut ajouter a la portion 

 infe>ieure du triangle propose pour completer le rectangle. D'oii il conclut que Taire du triangle est egale a 

 celle du rectangle, et consequemment egale au produit de la base par la moitie de la perpendiculaire. 



Cette demonstration est tres-simple et parle aux yeux autant qu'a 1'csprit. C'est celle qu'emploient les Arabes, 

 et qui a etc adopte'e a la renaissance , particulierement par Lucas de Burgo et Tartalea. 



1 Le scoliaste Suryadasa, auteur de deux commentaires excellens, sur le Lilavati et le Bija-Ganita (Cole- 

 brooke ; Brahmeyupta and Bhascara, alycbra,p. Xivi), ne parait pas avoir ete plus habile que Bhascara dans 

 1'intelligence de la proposition de Brahmegupta. Car il donne cette singuliere raison pour prouver que 1'aire est 

 exacte dans le triangle et inexacte dans le quadrilatdre : 



(i Si les trois restes sont additionnes ensemble , leur somme est egale a la moitie" de la somme de tous les cotes. 

 Le produit de la multiplication continue des trois restes etant multiplie par la somme de ces restes, le produit 

 ainsi obtenu est ^gal au produit du carre de la perpendiculaire multiplie par le carre de la moitie de la base. 

 C'est une quantite" carr^e , car un carre multiplie' par un carre" , doune un carre\ La racine carree <5tant extraite , 

 le resultat est le produit de la perpendiculaire par la moitie" dc la base, et c'est 1'aire du triangle. Done la ve>i- 

 table aire est ainsi trouvee. Dans un quadrilatere, le produit de la multiplication ne donne pas une quantity 

 carree, mais une irrationnelle. Sa racine approximative est 1'aire de la figure ; non pas toutefois la veritable, 

 car divisee par la perpendiculaire elle devrait donner la moitie de la somme de la base et de la corauste. >i 

 (Lilavati ,p. 72). 



