450 NOTES. 



Former avec ces quatre memes c&tes, un autre quadrilalere qui ait d'aulres diago- 

 nales , et parliculierement celui qui aura ses perpendiculaires 6gales. 



Bhascara rdsout cette question ; puis il ajoute : 



Ainsi avec les memes c6l6s , il peut y avoir differentes diagonales dans le tetragone. 



Quoiqu'indeterminees, les diagonales ont cependant 6te trouvees comme d^terminees 

 par Brahmegupta et d'autres. Leur regie est la suivante : 



190. Regie. Les sommes des produits des c6tes aboulissans aux cxtrdmites des dia- 

 gonales etant divisees 1'une par 1'autre, et multipliees par la somme des produits des 

 c&tes opposes, les racines carries des r6sullats seront les diagonales dans le trapeze. 



L' objection qu'on peut faire contre ce moyen de trouver les diagonales , c'est qu'il 

 est long; comme je vais le faire voir en proposant une methode plus courte. 



g 191-192. Regie. Les cathetes et les cotes de deux triangles rectangles, multiplies 

 reciproquemeut par les hypotenuses, sont les coies; et de cetle maniere est forme un 

 trapeze dans lequel les diagonales peuvent se deduire des deux triangles. 



Le produit des cathetes ajoute au produit des c6ls est une diagonale ; la somme des 

 produits des cathetes et des cot6s , multiplies r^ciproquement , est 1'autre diagonale. 



Quand cette courte m^thode se presentait , je ne sais pourquoi une regie laborieuse 

 a 6i6 employee par les premiers crivains. 



Bhascara ajoute que : Si la corauste et 1'un des flancs changent de place , 1'une des 

 diogonales deviendra 6gale au produit des hypotenuses des deux triangles rectangles.)) 



Nous devons conclure de ce passage, que Bhascara n'a pas compris les propositions de 

 Brahmegupta qu'il reprend. Celui-ci, comme nous 1'avonsdeja dit, n'a pas enonc6 les for- 

 rnules donneesau 191-192 de Bhascara, parce qu'ellesn'etaient,dans son esprit, qu'une 

 simple verification de la rationalite des diagonales , et non pas le sujet d'une proposition. 



Bhascara remarque qu'en changeant de place deux c&tes contigus du quadrilalere , on 

 en forme un second, ou 1'une des diagonales estdifferenle, et a pour expression le produit 

 des hypotenuses des deux triangles generateurs. Cela est vrai ; mais Bhascara ne dit pas 

 plus pour ce second quadrilalere que pour le premier, quelles seront ses proprietes qui 

 avaient eie 1'objet de 1'ouvrage de Brahmegupta. II ne remarque pas non plus que ce nou- 

 veau quadrilatere a deux angles droits. 



9 Calcul des segmens que les diagonales et les perpendiculaires d'un quadrilatere, et 

 les c&tes prolonges, font les uns sur les autres; 193-194, 195-196 , 197, 198-200. 



On suppose connus les cotes , les diagonales et les perpendiculaires. 



Tous ces calculs sont sans d if lieu He; ; ils reposent sur le principe de la proportionnalite 

 des cotes dans les triangles equiangles. 



Telles sont les propositions sur le quadrilalere. Elles forment, avec celles qui concer- 

 nent le triangle , la partie de 1'ouvrage de Bhascara qui correspond aux dix-huit premiers 

 paragraphes de celui de Brahmegupta. Avant de passer aux autres proposilions de Bhas- 

 cara , nous allons faire ressorlir les differences que ces premieres ont avec celles de Brah- 

 megupta, dont elles ne sont qu'une imitalion. 



Ces differences portent sur les points suivans : 



