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ou, suivant nos symboles actuals, 



7 14^ 2 + 7^ 4 a?6=o. 



oua; est le rapport du c6t6 de 1'eptagone au rayon du cercle. 



La valeur de la raeine d'une telle equation , dit-il , n'est pas unique ; car il y en a deux 

 pour le pentagone, trois pour 1'eptagone, quatre pour le nonagone , et ainsi de suite.)) 



II ajoule que (pour 1'eptagone) les trois racines sont les cotes de trois eptagones dif- 

 f6rens, qu'on pent concevoir inscrits dans le meme cercle. 



Voila 1'intcrpretation bien nelte des trois racines de 1'equation qui donne le cole de 

 1'eptagonc regulier inscrit au cercle. Voila la notion analytique qui unit necessairement 

 la thiSorie des polygoncs ^Ioil6s a celle des polygones des Anciens. 



Kepler exprime encore, plus loin, ce meme principe en des termes remarquables , car 

 en avouanl les difficulle's que fait naitre la f^condile meme de 1'analyse, il reconnait tout 

 ce que celte melhode a de beau. 



u Jusqu'ici, dit-il, le cote d'un polygone, et celui d'une 6toile du meme nom, avaient 

 eu chacun une description propre et sure. Dans 1'analyse algdbrique , ce qu'il y a surtotit 

 d'admirable (quoique ce soil la pr^cisement ce qui embarrasse le g6ometre), c'est que 

 la chose demandde ne peut pas etre donnee d'une seule maniere. Mais , encore bieu que 

 ce ne soil pas ddmontr6 gdne'ralement, poursuivons ce que nous avons commence 1 

 plus haul, qu'il y a aulant de nombres qui satisfont a 1'equalion, qu'il se trouve, dans 

 la figure, de cordes ou de diagonales de longueurs differentes ; comme, dans le penta- 

 gone , deux; dans 1'eptagone, trois; donl un pour le cote, et les autres pour les diago- 

 nales. C'est pourquoi , enfin , lout ce qui est 6nonc6 du rapport du c6t6 de la figure 

 au diametre, esl commun aux rapports de loutes ses autres lignes au meme ciiametre. 



Kepler reproduit ces mernes considerations dans la proposition suivante, ou il demontre 

 que la division d'un arc en trois, cinq, sept, etc. parlies, n'est pas possible geomelri- 

 quement. Plusieurs lignes, dit-il, repondent a la question, el d'une propriele com- 

 mune a plusicurs choses on ne peul rien conclure de special el de particulier a 1'une 

 d'elles. ' 



Le second livre, inlilu!6 : De fif/urarum reyularium cungruentla , traite encore 

 des polygones reguliers, puis des polyedres. Kepler passe en revue les differentes ma- 

 nieres d'assembler des polygones, soil de meme espece, soil d'esjieces difTerentes, pour 

 remplir exactement une surface plane, et pour former des polyedres reguliers. 



1 Au milieu de ces considerations mathe"maliques si justes et si profondes, on trouve quelques reflexions 

 qui annoncent 1'usage bizarre et chime'rique que \eut faire de ses savantes speculations sur les polygones 

 le genie de Kepler, doming par les idees pythagoriciennes et platoniciennes sur les proprietes cosmo- 

 graphiqucs des nombres : tel est ce passage qui termine la proposition 45 e : II est done prouvd que les 

 cote's de ces figures doivent rester inconnus, et sont de leur nature introuvables. Et il n'y a rien d'dton- 

 nant en ceci r quccc qui ne pent se rencotitrer dans I'Archetype du monde f ne puisse etre exprime dans la 

 conformation de ses parties. 



Ce sont de pareilles idees qui out conduit Kepler a 1'une des plus grandes diScouvertes qu'on ait jamais 

 faites ! 



