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on determine le c6le du pentagone re'gulier inscrit au cercle, en donnait la diagonale ] ; 

 raais cette interpretation ge"ome" trique de la racine e" trangere ne suffisait pas ; il fallait la 

 rapprocher de 1'e'nonce' meme de la question, pour y voir non pas seulement une diago- 

 nale , mais le cote d'un second penlagone. Cette ide'e qui nous parait si simple aujour- 

 d'hui, et qui complete la solution analytique de la question, a e"chappe aux Bernoulli, a 

 Euler, a Lagrange, et n'est venue que de nos jours a 1'esprit d'un geometre. 



La doctrine des polygones e"grediens de Bradwardin, a die" vivement combattue par un 

 auteur du XVII 6 siecle , Jean Broscius, dans un ouvrage intitule : Apologia pro Aru- 

 lotele et Euclide contra P. Ramum et alias. Danlisci , 1652,in-4. Elle n'avait rien a 

 redouter d'aucune attaque, qui n'aurait dft servir meme qu'a la propager, et a en 

 rdpandre la connaissance. Cependant, par un hasard singulier, cet ouvrage de Broscius 

 est peut-elre le dernier qui ail traile 1 de ces polygones , qui depuis sont tombe's entierement 

 dans 1'oubli, et qui n'ont meme reveille 1 aucun souvenir, au commencement de ce siecle , 

 quand M. Poinsot les a cre'ds et remis sur la scene. 



Voici ce que contient 1'ouvrage de Broscius , sur ces polygones. 



D'abord il reprend fortement Ramus pour s'elre servi du pentagone etoi!6 , comme 

 exemple d'une figure , autre que le triangle, oii la somme des angles tail e"gale a deux droits. 

 Ce qui prouve, dit-il,l'ignorance de Ramus en Geome 1 trie. Car cette figure est un d6- 

 cagone qui a cinq angles renlrans et cinq angles saillaus , et la somme de ces angles est 

 6gale a seize droits. 



Broscius cite 1'ouvrage de Bradwardin , et prouve qu'on pent former une infinite" de 

 figures dites a angles eyre'diens, de 7, 9 , 11 , etc., cole's, dans lesquelles , comme dans 

 celle de Ramus , la somme des angles soil egale a deux droits. Bradwardin n'avait fait que 

 soupfonner cette belle proposition, sans la demontrer; et Charles de Bouvelles ne 1'avait 

 applique"e qu'a 1'eptagone e"gredient de troisieme espece. Broscius va plus loin ; il considere 

 les figures de diffdrentes especcs pour un meme nombre de c6tes , et donne la somme de 

 leurs angles. 



II trouve qu'il y a trois especes d'eptagones, y compris 1'eptagone ordinaire, dansles- 

 quels la somme des angles esl 1 , 6 et 2 droits ; 



Trois especes d'octogones, danslesquels la somme des angles est 12, 8, 4 droits; 



Six especes de figures a 14 angles egrediens (y compris le polygone ordinaire de 14 

 colds), dans lesquelles la somme des angles est 6gale a 24, 20, 16, 12, 8 et 4 droits ; 



Sept especes de figures a quinze angles dgrediens, dans lesquelles la somme des angles 

 esUgalea 26, 22, 18, 14, 10, 6 el 2 droils. 



Ces requitals s'accordent avec la loi trouve'e par M. Poinsot, d'apres laquelle la somme 



1 Cette remarque avait deja e"te faite probablement , uii siecle et demi auparavant, par Stifeli ; car on 

 trouve dans son algebre les expressions du cote et de la diagonale du pentagone re"gulier en fonction du 

 rayon du cercle circonscrit ( voir son Arithmetica integra , fol 178 TF" ), et en supposant qu'il n'ait point 

 obtenu ces expressions par la resolution de 1'e'quation du second degre, leur forme a du lui montrer que 

 les carres faits sur ces lignes sont les racines d'une seniblablc equation; car ce geometre, tres-habile alge"- 

 bristc pour son temps, litait fort cxerce dans la resolution des equations du second degre. 



