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On trouve dans les lettres de Descartes de nombreux passages relatifs a la Geometric. Son 

 volume d'Opuscula posthuma (Amst. 1701 , in-4) , contient aussi quelques morceaux de Geo- 

 metrie. II est a regretter que Ton n'ait pas encore songe a rcunir tons ces passages epars , et a les 

 comprendre dans une des nombreuses editions que Ton a faites de la Geometric de Descartes. 



Nous nous bornerons ici a remarquer dans ses leltres, une methode particuliere, que ce ce- 

 lebre philosophe a imaginee pour resoudre un probleme, alors fort agite entre lui et ses illustres 

 conteniporains Fermat , Robcrval et Pascal ; le probleme de la tangente a la cycloide. Cette 

 methode, qui a eu alors une grande celebrite, etait d'une simplicite extreme, et convenait aux 

 cycloides accourcies et allongees , comine 1'a tres-bien vu Descartes , et meme a toutes sortes de 

 roulettes, dccrites par un point du plan d'une courbe quelconque qui roule sur une autre courbe 

 fixe. Elle consiste a regarder les deux courbes comme deux polygones d'une infinite de cdtes. 

 Ces polygones sont en contact suivant un c6te commun , et consequemment ont a chaque instant 

 deux sommets comrauns ; pendant un mouvement infiniment petit le premier polygone tourne 

 autour d'un de ces deux sommets qui reste fixe ; le point de'crivant engendre done un arc de 

 cercle qui a son centre en ce sommet fixe ; la normale a cet arc de cercle , qui est un element 

 de la roulette decrite , passe done par ce sommet. 



Cette methode , qui differe essentiellement de toutes les autres methodes pour mener les 

 tangentes, est d'une simplicite extreme, eta toujours etc employee depuis. Mais, a raison 

 sans doute de cette simplicite meme, clle n'a point attire autant 1'atlention des geometres qui 

 n'en ont fait usage que dans la m6me question , en se bornant seulement a 1'ctendre aux epicy- 

 cloides spheriques. En reconnaissant ce que cette melhode a de distinctif et de special par rap- 

 port aux aulres solutions du probleme des tangentes , il etait naturel de chercher si le principe 

 sur lequel elle reposait n'etait pas susceptible de quelque generalisation qui le rendrait appli- 

 cable a d'autres questions. 



Le thc'oreme suivant nous parait offrir la generalisation de celui de Descartes : 



Quand une figure plane eprouve un mouvement infiniment petit dans son plan, il existe tou- 

 jours un point qui, pendant ce mouvement, reste fixe; 



Les droites menees par les dijerens points de la figure, perpendiculairement aux trajectoire 

 qu'ils decrivent pendant le mouvement infiniment petit, passant toutes par ce point fixe. 



D'apres cc theoreme , quand une courbe est decrite par un point d'une figure en mouvement 

 dans son plan, il suifira, pour mener sa normale par le point dccrivant, de determiner le point 

 qui restera fixe au moment du mouvement oil le point decrivant aura la position qu'on consi- 

 dere. Ce point se dcterminera par les diffe'rentes conditions du mouvement de la figure. 



Par exemple , si 1'on connait le mouvement de deux points de la figure , on menera par ces 

 points les normales aux courbes qu'ils parcourent, le point d'intersection de ces deux normales 

 sera le point cherche. 



Ainsi , qu'une droite de longueur donnee se meuve de maniere que ses deux extremites par- 

 courent deux droites fixes, on sail que chaque point de la droite, et meme que chaque point 

 pris au dehors de la droite , mais fixe invariablement a elle, decrit une ellipse. Pour determiner 

 la normale a cette courbe, on menera les normales aux deux droites fixes par les extremites de 

 la droite mobile ; ces deux normales se rencontreront en un point par oil passera la normale 

 cherchce. 



