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Les angles que font entre eux les quatre plans A , B , C , D sont connus , puisque ces plans cor- 

 respondent a quatre heures determinees ; le second nombre est done une quantite connue w. 



On voit done dcja que notre equation servira a determiner la direction de la ligne d, et 

 qu'ainsi elle resout la question. 



Pour en dcduire une construction facile , menons arbitrairement une transversale qui ren- 

 contrera les trois lignes a, b, c en des points a. , S, yet appelons ef le point ou elle rencontrera 

 la ligne cherchee d. Le rapport anharmonique des qualrc points a, S, y, <? sera le meme que 

 celui des qualre droites a , b , c, d; 1'equation precedente se transformera done en celle-ci : 



aa rfa <?% 1 yz 



; = n : d ou = . -- 

 yC d 3S n y 



Le second membre est connu; cette equation fera done connaitre la position du point <? qui 

 appartient a la ligne cherchee. 



Cette solution devient d'une facilite extreme, si Ton mene la transversale parallele a 1'une 

 des deux lignes a , b, a la premiere, par exemple , car alors on a = 1 , et 1'e'quation se 

 reduit a 



<tS = n . yS. 



Le segment ySest connu , done le segment d Test aussi ; le point J et , par consequent , la 

 droite d sont done determines. Ainsi le probleme est rcsolu. Et cette construction gencrale , qui 

 ne fait usage que de trois lignes horaires quelconques , et qui sert pour en determiner une 

 quatrieme aussi quelconque, est, comme nous 1'avons annonce, tout aussi simple que celle de 

 De la Hire qui necessitait la connaissance de sept lignes au lieu de trois. 



Quant a la quantite n, qui n'est pas donnee directement , mais qui depend des angles que 

 les quatre plans horaires A , B , C , D font entre eux , il est facile d'en calculer la valeur graphi- 

 quement, sans faire usage des lignes trigonometriques qui entrent dans son expression. Pour 

 cela, on menera par un point quatre droites OA', OB', OC', OD' faisant entre elles , deux a 

 deux , des angles cgaux a ceux des plans horaircs ; on tirera une transversale quelconque , qui 

 rencontrera ces droites en quatre points a', f , y', J'; le rapport anharmonique de ces quatre 

 points sera egal a celui des quatre plans ; de sorte qu'on aura 



y'a! J'x' 



' ~ 



Telle est la valeur de . On simplifie son expression, en menanl la transversale parallele- 

 ment a 1'une des quatre droites OA', OB', OC', 01)', a la premiere, par exemple, car on a 



r-r = 1 . et il vient 

 y! 



