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PAH 161 , 17. 



La consideration dcs dpicycloides remontc trcg-haut, puisqu'cllcs ont joue un grand role 

 dans le systeme astronomique de Ptolcmce. Mais il ne paralt pas quc Ton ait jamais ctudic gdo- 

 iini i n|iirmi ni la nature et les proprietes de ces courbes. Albert Durer les a miscs au nombre 

 des lignes courbes qu'il a appris a decrire par points ct dont 1'usage pouvait clre ulile dans les 

 arts dc construction ; mais il n'cn a point ctudic nun plus aucune propriete. 



La premiere epicycloide dont la nature ait etc connue cst due a Cardan ; c'est celle que decrit 

 un point de la circonfcrence d'un cercle qui roule sur la concavitd d'un cercle d'un rayon 

 double. Cette ligne est, comme on sail, unc droite. Cardan a demontre cette proposition dans 

 son livre intitule : Opus nor urn de proportionibus numerorum, tnotuum, etc. (Pair Proposi- 

 tion 173, p. 180). 



Ensuite Huygens a trouvc (en 1878) que la ligne enveloppe des ondes par reflexion, dans un 

 cercle sur lequel tombent des rayons paralleles est une epicycloide engendree par un point de la 

 circonference d'un cercle qui roulerait sur la concavitd du cercle cclairc ; ce cercle mobile ayant 

 son diametre cgal au quart du diametre de celui-ci. Huygens a donne la rectification et la qua- 

 drature de cette courbe (voir son TraM de la Lumiere, chap. VI). 



Vers le mme temps , De la Hire a trouve que la caustique de Tschirnhausen , formce par la 

 rdflexion dans un cercle eclaire par dcs rayons paralleles est aussi une epicycloide . qu'on en- 

 gendre en faisant rouler une circonfcrence de cercle sur la convexite d'un autre cercle d'un 

 diametre double de celui du cercle fixe. 



Cette courbe est preciscment la devcloppce de celle de Huygens. 



Ce sont la , je crois , les premieres epicycloides dont on ait connu quelques proprietes gcome- 

 triques. Ces courbes se sont presentees ensuite dans plusieurs autres questions de physique et 

 de Mil-ran i<|iic oil dies ont June un role remarquable. 



PAGE 218. 



Clairaut a consider^ avant Euler les courbes que celui-ci appelle linea affines; il les regarde 

 comme riant la projection 1'une de 1'autre , c'est-a-dire comme deux sections planes d'un int'-nn 

 cylindre ; et il les appelle courbes de i/ie espece. II fait voir que les coordonnees d'un point 

 de 1'une rapportces a deux axes pris dans son plan , ctant ./ et y. les coordonnees du point cor- 

 respondant dans la seconde courbe , rapportces aux deux axes qui correspondent dans le plan 

 de cette courbe aux deux premiers axes, sont de la forme X = X,r, Y=^y. Ce qui montre 

 que ces courbes de Clairaut sont les memes que celles d'Euler. (Voir Memoires de l'4cademie des 

 Sciences de Paris, annce 1731.) 



PACK 265. 



Un caractere propre des principes de dualitc et d'homographie tels que nous les exposerons, 

 et qui repose sur 1'usage que nous y faisons du rapport anharmonique, c'est que, par la nature 

 metne de ce rapport, tous les thcoremes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux- memes. 

 presque loujours, aux figures tracces sur la sphere. De sorte que ces deux theories offriront un 



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