MEMOIRE DE G^OM^TRIE. 581 



Or z' est inlini : cette Equation se rtkluit done a 



oX + b\ +. / _ o. 



Telle est liquation du plan mobile, dans sa position correspon- 

 dante au point directeur situ6 a 1'infmi sur la droite dont nous avons 

 |>< isi- les Equations. 



Ceplan passe 6videmment par le point dont les coordonne*es x , y , z 

 sont d&ermine'es par les trois Equations 



X = o, Y = o, Z = o, 



Done, dans quelque position quo soit situ6, a 1'infini, le point di- 

 recteur, le plan mobile passera par le point fixe que d6terminent ces 

 trois Equations ; comme si le point directeur parcourait un plan. 

 C. Q. F. D. 



(5) Si Ton cherchait a determiner ce plan, il faudrait mettre dans les 

 trois Equations (4), a la place de x , y , s , leurs valeurs tirees des trois 

 Equations ci-dessus; on aurait ainsi les valeurs des coefficiens L, M, N 

 correspondantes a la position de ce plan. Or ces Equations deviennnent 



LU = o, MU = o, NU=:o; 



U n'est pas nulle, puisque c'est une fonction de x , y, z, qui est 

 devenue un nombre par la substitution des valeurs de ces coordon- 

 iirr.s: il faut done qu'on ait 



L = o, M = o, N = o; 



i 



et des lors Pequation L# + My + Ns = 1 repr^sente un plan situe" a 

 1'infini, et indelermin6 de direction. 



Nous pouvons done ^noncer, avec M. Poncelet, cette id6e para- 

 doxale, mais d'une justesse math&natique : 



L'espace inddfini a pour enveloppe une surface plane. ( TRAITE 



DES PROPRIETES PROJECTIVES, p. 373 ). 



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