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MEMOIRE DE GEOMETR1E. 



(6) Th^oreme IV. Quand le point directeur prend quatre posi- 

 tions a, b, c, d, en ligne droite, le plan mobile prend quatre positions 

 correspondantes , que nous designons par A, B, G, D; 



Ces quatre plans pas sent par une meme droite, et leur rapport 

 anharmonique 1 est egal d celui des quatre points a, b, c , d ; c'esi-d- 

 dire que I' on a 



sin. C,A sin. D,A ca da 

 sin. C,B ' sin. D,B "~ cb ' db 



En effet, les quatre plans A, B, C ^ D passent par une meme droite, 

 puisque les quatre points a, b, c , d sont en ligne droite; par cons6- 

 quent si on tire une transversale quelconque qui rencontre ces quatre 

 plans aux points , 6, y, <J, on aura 



T-a. fa sin. C,A sin. D,A 

 ye ' <SG ~~ sin. C,B ' sin. D,B 



II suffit done de prouver que le premier membre de cette Equation 

 est 6gal au second membre de 1'^quation ci-dessus. 



Pour cela, soient , v, ?, les coordonri^es d'un point fixe K , pris sur 

 la droite des quatre points a , b, c, d; et soient r' , r" , r'" } r lv , les 

 distances de ces quatre points au point K; leurs coordonn^es seront 



= v -+- mr , 

 = ? +- nr' ; 



y" = y -V- mr" , 



" = ? -t- nr" ; 



x'" = t -f- /r'" , 



y'" = + mr'" , 



z'" = ? -*- nr'",- 



et 



pour le point a ; 

 pour le point b; 

 pour le point c; 

 pour le point d ; 



1 Nous avons donne dans la Note IX la definition du rapport anharmonique de quatre points, 

 ou de quatre plans. 



