584 MEMOIRE DE GfiOMETRIE. 



(7) Remarque. Liquation P -f Qp' + (R + Sp' ) r' = o fait voir que : 

 sur une droite quelconque , il se trouve en general deux points qui, 

 regard^s comme deux positions du point directeur, donnent deux 

 plans mobiles qui passent par ces points respectivement. 



En effet, si on veut que le plan A, correspondant au point a, 

 passe par ce point, on aura, dans I'e'quation ci-dessus, p' = r 1 , et 

 elle deviendra 



Les deux racines de cette Equation d^termineront les deux points 

 en question sur chaque transversale. 



En ge"ne"ral, quand le plan mobile passe par son point directeur, 

 ce point a pour lieu ge'ome'trique une surface du second degre. 



En effet 1'^quation du plan mobile est 



si ce plan passe par le point directeur, cette Equation sera satisfaite 

 quand on mettra x' , y' , s' a la place de x , y , z , dans X, Y, Z et U. 

 Mais alors on aura une Equation du second degre 1 ; cette Equation 

 repre"sentera done une surface du second degre" sur laquelle sera le 

 point directeur ; ce qui de*montre le the'oreme. 



II faut observer, cependant, que si 1'dquation du plan mobile etait 

 telle qu'en y faisant sca;', y = y',zz', on la rendit identique , 

 ce qui est possible, ainsi que nous le verrons (155), le plan mobile 

 passerait constamment par le point directeur. 



(8) Theoreme V. Etant donnees cinq positions du point direc- 

 teur, on pourra prendre arbitrairement dans Vespace cinq plans 

 qui seront les cinq positions du plan mobile, correspondantes 

 respectivement d ces cinq points. 



En effet soient x' 3 y' , z' les coordonnees d'un des cinq points 

 donnes, et 



P.V + Qy + R S = 1 , 



1'^quation du plan qui doit correspondre a ce point. 



