MEMOIRE DE GEOMETRIE. 655 



C'est en cela que consiste le the*oreme de ge'ome'trie a trois dimen- 

 sions qui correspond in celui de ge'ome'trie plane , connu sous le nom 

 de porisme d'Euclide, et qu'on e"nonce ainsi : 



fitant donne"s f dans un plan, deux points fixes et un angle donf 

 le sommet est place sur la droite qui joint ces deux points ; si de 

 chaque point dune droite donnee on tnene deux droitcs d ces deux 

 points fixes , elles rencontreront respectivement les deux cote's de 

 tangle en deux points qui determineront une droite qui toumera 

 autour dun point fixe '. 



(113) Si, dans le the*oreme ci-dessus, on place les sommets du 

 triangle abc de maniere qu'ils soient respectivement dans les plans 

 des faces correspondantes de I'angle triedre, alors on d<$montre que 

 le plan des trois points ' , S' , / , passe par le point in , c'est-a-dire que 



1 M. Poncelet a aussi remarqud que ce porisme d'Euclide offrait un moyen de transformer 

 les figures sur le plan. (Analyse des transrersales appliquee a la recherche des proprittes projectives 

 des lignes et surfaces geometriques. Voir Journal de M. Crelle , t. VIII , p. -408 ; annee 1832.) 



Pour conserver .'( cette proposition le nom de porisme, il faut 1'enoncer sous la forme d'un 

 thcoreme local, ainsi que nous venous de le faire, d'apres R. Simson dans son traite de Poris- 

 malibus (proposition 84). Mais ce thcoreme est susceptible d'un autre cnonce , plus simple et 

 plus expressif, dont s'est servi Pappus, en le considvrant comme une propricte de 1'hexagone 

 inscrit & deux droites. Cette propriete consiste en ce que les trots points de concours des cotes 

 opposes de cet hexagone sont en ligne droite. On peut so demander quel sera , dans la geometric 

 a trois dimensions, I'cnonce correspondant IL celui-lh. Pour rcpondre i cette question , nous 

 prcsenterons sous une autre forme le thcoreme de Pappus; nous dirons que : 



/:tii nt donnes trois points quelconqucs stir une droite , et trois autres points quelconqties sur une 

 teconde droite; si I'on regarde ceujc-ci comme les sommets de trois triangles ayant respectivement 

 pour bases les trois segmens formes par les trois premiers points, pris deux a deux; il passera par 

 les extremites de chaque segment , outre les deux cotes du triangle qui a pour base ce segment; deux 

 autres cdtes appartenant aux deux autres triangles ; ces deux cotes se couperont en un point, et I'on 

 aura de la sorte trois points ; 



Cet trois points seront en ligne droite. 



Le thcoreme correspondant , dans 1'espace , sera le suivant : 



Etant pris arbitrairement dans un premier plan quatre points, et dans un autre plan quatre 

 autres points; si ceux-ci sont regardes comme les sommets de quatre tetraedres ayant pour bases 

 respect i cement les quatre triangles formes par les quatre premiers points , pris trois a trois; par 

 les cdtes de chacun de ces triangles il passera , outre les trois faces du letraedre qui a pour base ce 

 triangle , trois autres plans appartenant respectirement aux trois autres tetraedres ; ces trois plans 

 se couperont en un point; et I'on aura ainsi quatre points dans 1'espace; 



Ces quatre points seront dans un mime plan. 



