660 MEMOIRE DE GEOMETRIE. 



soil pour la demonstration du principe de duality soit pour 1'applica- 

 tion de cette theorie & la transformation des proprietes de 1'etendue. 



(120) Nous ne saurions trop appeler 1'attention du lecteur sur 

 liquation du n (116), 



Sin. C,A Sin. D,A ca da 

 Sin. C,B ' Sin. D,B == Iti ' ~db' 



qui represente toutes les relations qui sont transformables immediate- 

 ment par la theorie des polaires, de mme que par les autres me~ 

 thodes du meme genre. Faute d'avoir apercu cette relation, et de 

 1'avoir reconnue comme le type unique de toutes cellos qu'on pouvait 

 soumettre a la theorie des polaires reciproques, on a 616 oblige de 

 faire intervenir dans les transformations polaires la theorie des cfe- 

 formations par voie de perspective , pour les figures planes, et par la 

 consideration des figures homologiques , pour les figures a trois di- 

 mensions. De sorte qu'on a fait dependre les applications du principe 

 de dualitd , de la theorie des figures homologiques ' , tandis que 1'un 



1 M. Poncelet, dans son Memoire sur la theorie generals des polaires reciproques, apres avoir 

 pris une conique , ou une surface du second degre quelconque , pour transformer les relations 

 descriptives , prend , pour la transformation des relations metriques , un cercle et une sphere. 

 Puis il justifie cette methode et demontre la ge'ncralite de ses resultats , en ces termes : On peut 

 )> remarquer en passant , qu'attendu la nature particuliere des relations que nous venons d'exa- 

 miner , ces diffe'rens theoremes auraient lieu , d'une maniere analogue , dans le cas ou , k 

 it la place d'un cercle , on prendrait une section conique quelconque pour directrice ou auxi- 

 liaire; car on peut toujours considcrer 1'un de ces systemes comme la perspective ou projec- 

 tion centrale de 1'autre , pourvu neanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent soient 

 >> elles-mcimes projectives de leur nature , et ne concernent par consequent aucune grandeur 

 constante et dcterminee. 



i> Au surplus, je crois devoir le dire expressement, cette observation, qui s'applique ega- 

 lenient au cas de 1'espace que nous aurons bient6t h examiner, n'ajoute rien a la gcncralite 

 ;> des consequences qu'il est possible de deduire des theor^mes preccdens, quoique leur enonce 

 suppose que les figures polaires reciproques soient prises simplement par rapport a un cercle 

 " auxiliaire.H (Voir Journal de M. Crelle, t. IV, p. 55.) 



Ainsi M. Poncelet demontre a posteriori , au moyen de la perspective , la generalite de ses 

 transformations faites sur le plan avec un cercle pour conique auxiliaire. Pour le cas de 1'es- 

 pace il n'indique pas la demonstration analogue; mais on comprend que ce sera par son inge- 

 nieuse theorie des figures homologiques , dont il a deja fait de nombreuses et belles applica- 

 tions dans le supplement de son Traite des proprietes projectives des figures. 



