688 MEMOIRE DE GEOMETRIE. 



il suffit done, pour dmontrer liquation (1), de prouver que Ton a 



ya. (fx ca da 

 rS ' JS cb ' db 



Or, le point a &ant le pole du plan A, les deux points a et sont 

 conjugue"s harmoniques par rapport aux deux points ou la droite L 

 rencontre la surface. Pareillement les deux points b, $, sont conju- 

 gus harmoniques par rapport aux deux memes points ; il en est de 

 meme de deux points c, y, et des deux points d, 3; done trois quel- 

 conques de ces quatre systemes de deux points forment une involution 

 (Note X, art. 12 bis, p. 555 ); et par suite les huit points ont entre 

 eux la relation que nous voulions d^montrer (meme Note, art. 9). 



(158) Maintenant , pour faire 1'application que nous nous propo- 

 sons de la formule (1), mettons-la sous la forme 



nc, sin. A,C ml sin. A.D 

 be ' sin. B,C "~ bd ' sin. B,D 



Le second membre est constant, quels que soient le point c et son 

 plan polaire C. Que dans le plan C on prenne un point m; son plan 

 polaire M passera par le pole c du plan C. Le rapport des distances 



- 1 A T 1 x Sln> A,C 1 



du point m aux deux plans A, r>, sera egal a sin B c ; le rapport des 

 distances du plan M aux deux points a, b, sera egal a |^; et, d'a- 

 pres 1'dquation ci-dessus, ces deux rapports seront entre eux dans 

 une raison constante. 



On a done cette propriete ge"ne>ale des surfaces du second degre" : 

 Etant pris dans I'espace deux points fixes a, b, et leurs plans 

 polaires A, B, par rapport d une surface du second degre' ; si I' on 

 mene un plan transversal quelconque , le rapport de ses distances 

 aux deux points a, b, sera au rapport des distances du pdle de ce 

 plan aux deux plans A, B , dans une raison constante quel que 

 soit le plan transversal. 



(159) Si le plan transversal est tangent a la surface, son pole sera 

 son point de contact, on en conclut que : 



