MEMOIRE DE GEOMETRIE. 783 



mologiques situe'es dans un meme plan, si au sommet du c6ne on 

 substitue, dans leur 6nonc6, le centre d'homologie des deux courbes 

 planes. 



XIX. Surfaces du second degre" homologiques. Proprie'te' fonda- 

 mentale des systemes de trois axes conjuguo's rclatifs d un point. 



(318) Deux surfaces du second degr6 homologiques sont inscrites 

 dans un meme cone qui a pour sommet le centre d'homologie; ce 

 cone peut etre imaginaire, bien que son sommet soit reel. 



Mais on ne peut pas dire d'une maniere absolue que, re"ciproque- 

 ment, quand deux surfaces du second degr sont inscrites dans un 

 meme cone, elles sont toujours homologiques. Car, par exemple, si 

 1'une des deux surfaces est un hyperbolo'ide a une nappe et 1'autre 

 un ellipso'ide ou un hyperbolo'ide a deux nappes, il est Evident qu'il 

 ne peut y avoir homologie, car 1'hyperboloide a une nappe pouvant 

 etre engendre" par une ligne droite, sa figure homologique ne peut 6tre 

 aussi qu'une surface sur laquelle on peut tracer des lignes droites, 

 c'est-a-dire un hyperbolo'ide a une nappe, ou un paraboloi'de hyper- 

 bolique. 



II est un autre cas ou deux surfaces du second degre inscrites dans 

 un meme c6ne ne sont pas homologiques; c'est celui oil 1'une des sur- 

 faces est un hyperbolo'ide a deux nappes place" a l'extrieur du cone, 

 et 1'autre un ellipsoide, ou bien un hyperboloide a deux nappes com- 

 pris dans 1'intdrieur du cone, parce que dans ce cas aucune droite 

 mentSe par le sommet du cone ne peut rencontrer en meme temps les 

 deux surfaces ; par consequent aucun point de 1'une de ces surfaces 

 ne peut avoir son homologue dans 1'autre. 



Mais dans les autres cas , oil une droite men^e par le sommet du 

 cone pourra rencontrer les deux surfaces en mdme temps , elles seront 

 homologiques; et Ton pourra prendre pour leur plan d'homologie, 

 indifT(6remment, Tun ou 1'autre des deux plans des courbes d'inler- 

 section (rdelles ou irnaginaires) des deux surfaces. Cela requite du theo- 





