784 MEMOIBE DE GEOMETR1E. 



reme general ddmontre" dans le VIII de nos applications du prin- 

 cipe de Dualite" '. 



' Generalement deux surfaces du second degre inscrites dans un cdne se coupent suivant 

 deux courbes planes (reelles ou imaginaires). Ce thcorme est connu ; mais il me semble qu'on 

 1'enonce d'une maniere trop absolue ; car on suppose que , dans le cas meine ou les deux courbes 

 sont imaginaires , leurs plans sont toujours reels. 



Cela n'est pas ; car ces plans peuvent elre imaginaires , comme il arrive dans toutes les ques- 

 tions oil les choses qu'on consid^re sont doubles , ou admettent deux solutions. 



Pour en donner un exemple , qu'on concoive une section elliptique faite dans un hyperbo- 

 loi'de a une nappe , et un cdne circonscrit a cette surface suivant cette section ; qu'on fasse dans 

 le cdne une seconde section elliptique qui rencontre la premiere en deux points, et qu'on ins- 

 crive dans le cdne un ellipsoide qui le louche suivant cette seconde section. Get ellipsoide et 1'hy- 

 perbololde devront se couper suivant deux courbes planes , reelles ou imaginaires. Dans ce cas 

 ces deux courbes sont imaginaires ; car 1'ellipsoiide est renferme dans 1'interieur du cdne , et I'hy- 

 perboloide est tout-a-fait en dehors. Mais de plus, leurs plans sont aussi imaginaires; car ils 

 doivent passer par les deux points d'intersection des deux courbes de contact du cdne et des 

 deux surfaces ; et si ces plans etaient reels , chacun d'eux couperait reellement les deux surfaces. 

 Ce qui n'est pas possible puisqu'elles n'ont point de courbe d'intersection reelle. 



Ainsi , dans ce cas , il est demontre que les deux plans sont imaginaires ; il n'y a de reel que 

 leur droite d'intersection. 



L'analyse conduit aux mdrnes conclusions. Car soil F=o 1'equation d'un cdne, ou plus gen6- 

 ralement d'une surface quelconque du second degre ; 1'equation d'une seconde surface du second 

 degre inscrite dans cette premiere , sera de la forme 



F +- mf = o, 



P = o etant 1'equation du plan de la courbe de contact des deux surfaces. 

 Pareillement 1'equation d'une troisime surface inscrite aussi dans la premiere sera 



F + m'P' 2 = o, 

 P' = o <5tant 1'cquation du plan de la courbe de contact. 



Des equations de ces deux surfaces inscrites dans la premiere , on tire 



mP' m'P" = o. 

 D'oii 



P P'. . /E 



Cette d'ouble equation reprcsente les deux plans sur lesquels se coupent les deux surfaces. 

 Mais on voit que ces plans ne seront reels que quand les deux coefficiens m et m' seront de 

 m6mes signes ; et qu'ils seront imaginaires quand ces deux coefficiens seront de signes contrai- 

 res. Et dans ce cas 1'equation donne les deux suivantes 



P = o, f = o. 



Ce qui prouve que les deux surfaces n'ont point d'autres points d'intersection que sur la 

 droite mme sur laquelle se coupent les deux courbes de contact. J^es deux points d'intersection 

 peuvent elre imaginaires ; mais cette droite est toujours reelle , parce qu'elle est 1'intersection 

 des plans des deux courbes de contact. 



