MfiMOIRE DE G60METIUE. 787 



(325) Ces deux the"oremes sont la source d'un grand nombre de 

 proprie'te's des surfaces du second degre" de revolution, conside're'es 

 par rapport a leurs foyers. Quelques-unes de ces proprie'te's, celles 

 particulierement qui ne concernent quo les relations descriptives des 

 surfaces, sont connues; mais beaucoup d'autres, oil entre la conside"- 

 ration des relations m^triques, seront entierement nouvelles. Nous 

 exposerons celles-ci dans un paragraphe particulier ( XXI). 



(326) Reprenons les deux surfaces homologiques A, A', dont la 

 seconde a son centre de figure au centre d'homologie. 



Conside>ons dans la surface A' trois diametres conjugue's ; leur pro- 

 prie'te' caracte"ristique est que le point situe* I'infmi sur chacun d'eux 

 a pour plan polaire, par rapport a la surface, le plan des deux autres. 

 Les trois droites homologues, dans la surface A, jouiront done de la 

 propri<5t6 que le point oil chacune d'elles perce le plan fixe (qui est 

 le plan polaire du point S), a pour plan polaire le plan des deux 

 autres. D'oii il suit que chacune de ces trois droites a sa polaire com- 

 prise dans le plan des deux autres. Ces trois droites sont done ce que 

 nous avons appele* axes conjugue's relatifs au point S. Or ces trois 

 droites sont, en direction, les trois diametres conjugue's de la surface 

 A'; done 



Chaque systeme de trois axes conjugue's cFune surface du second 

 degre" , relatifs d un point fixe , forme , en direction , un systeme de 

 trois diametres conjugue's dune seconde surface du second degre , 

 qui a son centre en ce point; 



diculaircs abaissces des points a, a', a", sur les plans P, P', P", respectivement. On aura 



So _ ap So_ ap 



S? =A- <^' < ' 



D'ou 



a"p" 



a 'P' 



So" A a"p" 



Cette equation prouve que le point o" appartient & une figure homologique & celle a laquelle 

 appartient le point a' (806). Les plans P', P" se correspondent, dans ces deux figures; et le 

 point S est leur centre d'homologie. 



Ainsi le the'oreme est de'montrc'. 



