794 MEMOIRE DE GEOMETRIE. 



XX. Proprietes generates, nouvelles , des surfaces du second degre. 



(337) Les proprie"tes ge'ne'rales des surfaces gome"triques , de"mon- 

 tr^es dans le XVIII, s'appliquent aux surfaces et aux courbes du 

 second degre", et donnent lieu a de nombreux corollaires ou se trou- 

 vent plusieurs proprie'te's nouvelles de ces surfaces et de ces courbes. 

 On y distinguera particulierement certaines proprie'te's concernant 

 leurs foyers. Nous r6unirons celles-ci dans le paragraphe suivant. Nous 

 allons presenter d'abord des propositions d'une plus grande gne"ralite". 



Supposons dans le theoreme (3 1 2) que les deux surfaces soient du 

 second degr6; par une droite prise dans le plan fixe on pourra mener 

 deux plans tangens k la premiere surface; la corde qui joindra les 

 deux points de contact passera par un point fixe, qui sera le pole de 

 ce plan par rapport cette surface; nous pouvons done e*noncer ce 

 theoreme : 



Quand deux surfaces du second degre ont un centre d'homologie } 

 si autour dun point fixe on fait tourner une corde de la premiere 

 surface, les rapports des distances des extremites de cette corde au 

 centre d'homologie et au plan polaire du point fixe , divise respecti- 

 vement par les rapports des distances des deux points homologues 

 dans la seconde surface , au meme centre d'homologie et d un plan 

 fixe mene arbitrairement , auront leur somme ou leur difference 

 constante. 



Ce sera la somme , si le point fixe et pris dans 1'inte'rieur de la sur- 

 face, et la difference , s'il est pris au dehors. 



Ainsi soient a , b, les extre" mite's de la corde de la premiere surface; 

 a' , b' , les points homologues de la seconde; ap, bp, les perpendicu- 

 laires abaiss^es des points a, b sur le plan polaire du point fixe, pris 

 par rapport a la premiere surface ; et a'n , b'x, les perpendiculaires abais- 

 se"es des points a' , b' } sur un plan fixe n men arbitrairement ; on aura 



Sa Sa' S6 Si' 



:- -:- = const. 



ap air bp b ir 



