808 MEMOIRE DE GEOMETRIE. 



prendre arbitrairement un point d' pour correspondre a un point d 

 de la sphere, en observant cette seule condition que les droites Od, 

 O'd' se rencontrent sur le plan P'. Ainsi , pour un point O' et un plan 

 P' determines, on pourra former une infinite* de surfaces de revolution 

 homographiques a 'la sphere j et les proprietes de la sphere produiront 

 des proprietes de ces surfaces. 



Nous pouvons faire en sorte que 1'une de ces surfaces ait son centre 

 au point qui est le centre de la sphere. 



En effet, prenons le point d de la sphere sur la droit OO'; le point 

 correspondant d' de la surface sera aussi sur la droite OO'; et ce 

 point d' peut etre pris arbitrairement sur cette droite. Cherchons en 

 quel lieu il doit etre place" pour que la surface ait son centre au point O. 



Remarquons que le point 0' correspond au point O de la premiere 

 figure , et le plan P' correspond au plan a 1'infini de cette premiere 

 figure. Ce plan a 1'infini est le plan polaire du point O par rapport A 

 la sphere ; le plan P' est done le plan polaire du point 0' par rapport 

 a la surface de revolution. Done, si le point O est le centre de cette 

 surface, on aura Qd'~ = OO'. OtJ'. 



II faut done prendre le point d' de maniere que Ton ait cette e'galite'; 

 et alors la surface aura son centre au point O. 



Pour determiner un point m' de la surface, correspondant a un 

 point donne" m de la sphere, on menera par le point m les deux droites 

 mO , md , dont les correspondantes passeront par les points 0' et d' 

 respectivement. La premiere passera par le point oil la droite Om 

 perce le plan P' , et la seconde passera par le point ou une parallele 

 a la droite md, mene"e par le point O, perce ce plan P'. Ainsi le point 

 m' sera determine. 



Si la droite Om est parallele au plan P', la droite O'm' sera paral- 

 lele a Om. On trouve aise*ment, par une comparaison de triangles 

 semblables, que O'm' = Od'. De sorte que, une corde de la surface, 

 mene"e par le point 0', perpendiculairement a 1'axe de revolution, est 

 egale au diametre dirige suivant cet axe. Cela prouve que ce diametre 

 est le plus petit de la surface ; car s'il etait le plus grand, on ne pour- 



