MEMOIRE DE GEOMETRIE. 833 



Et deux faisceaux de plans sont homographiques quand le rapport 

 anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est 

 egal au rapport anharmonique des quatre plans correspondans du se- 

 cond faisceau. 



(429) Lcs deux propridt^s g^neYales du systeme de deux figures 

 homographiques que nous allons demontrer sont les suivantes : 



Premiere proposition. Quand deux droiles , placdes dune ma- 

 niore quelconque dans I'espace, sont divise'es homographiquement , 

 les droiles qui joignent deux d deux les points de division corres- 

 pondans , forwent un hyperboloide d une nappe. 



En effet quatre points de division a, b, c, d, de la premi6re droite, 

 ont leur rapport anharmonique egal a celui des quatre points cor- 

 respondans a' , b' f c', d', de la seconde droite. II s'eiisuit (ainsi que 

 nous 1'avons dmontr6 dans notre Note IX, page 306) que, une droite 

 quelconque qui s'appuiera sur trois des quatre droites aa', bb' } cc 1 , 

 dd', s'appuiera ncessairement sur la quatrieme; d'ou il suit que ces 

 quatre droites appartiennent a un hyperboloide a une nappe. 



(430) Deuxieme proposition. Quand on a dans I'espace deux 

 faisceaux de plans homographiques, les droites suivanl lesquelles 

 se coupent deux d deux les plans correspondans, forment un hy- 

 perboloide d une nappe. 



Cette proposition rdsulte directement de la pr6c6dente; car soient 

 L, L', les axes des deux faisceaux; A , B, C, D, .... les plans du pre- 

 mier faisceau, et A', B', C', D', .... les plans correspondans du se- 

 cond; les plans A, B, C, D, .... rencontreront la droite L' en des 



points a, b, c, d, ; et les plans A', B', C', D', rencontreront 



la droite L en des points a', b', c', d' Les quatre points a, b , c , 



d, ont leur rapport anharmonique gal a celui des quatre plans A, B, 

 C, D; les quatre points a', b', c', d', ont leur rapport anharmonique 

 egal a celui des quatre plans A', B', C', D'. Mais par hypothese le 

 rapport anharmonique de ces quatre plans est dgal a celui des quatre 

 plans correspondans A, B, C, D. Done le rapport anharmonique des 

 quatrepoints a, b, c, d, est 6gal a celui des quatre points a', b', c 1 , d'. 



